ANNEXES          

 

 

 1 - Séries alternées

 

 2 - Nombres de Bernoulli . Fonctions Têta et Sigma

 

3 - Diverses sommations partant des fonctions h

 

4 - Compléments sur les hyperfactorielles

 

5 – Développement taylorien de la factorielle

 

      Bibliographie

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                        ANNEXE 1 : SERIES  ALTERNEES

 

 

On s’intéressera ici aux séries de type :

 

S  =  s1  -  s2  +  s3  -  s4   …….   +/- sx 

 

Dans lesquelles tous les termes, dont le nombre est infini, s’inscrivent dans une même fonction ne présentant pas de discontinuité, et développable en série de Taylor, que nous nommerons « fonction caractéristique », soit :

 

sx = a0 + a1.x + a2.x2/2! …   +   …aq.xq/q!

 

Selon cette fonction caractéristique, on peut distinguer :

-  Les séries convergentes, dans lesquelles sx tend vers zéro.

-  Les séries « dents de scie », dans lesquelles sx tend vers une constante.

- Les séries divergentes, dans lesquelles sx croît constamment et indéfiniment.

- Les séries pseudo-convergentes, dans lesquelles sx commence par décroître, puis se met à croître indéfiniment. (Séries très fréquemment rencontrées avec les nombres de Bernoulli, et notamment dans l’utilisation de la formule sommatoire d’Euler-MacLaurin).

En règle générale, les valeurs de sx sont toutes positives, mais il y a des exceptions que nous rencontrerons, notamment quand sx est une fonction trigonométrique.

 

Les séries convergentes paraissent être les seules à avoir droit de cité, et cela pour une raison qui paraît évidente : elles tendent vers une valeur asymptotique, ce qui permet de calculer S avec toute la précision qu’on souhaite, alors que les séries divergentes ont un comportement à première vue erratique.

Dans les formulaires, on trouve ainsi, (entre autres) :

 

1  -  x  +    -     …..   +/- xⁿ  =  1 / (1+x)           ( pour  -1 ˂ x ˂ 1 )

 

Montrant bien ainsi qu’on s’interdit les cas où x n’est pas dans l’intervalle de convergence de -1 à 1.

 

Or, il existe des séries alternées qui, bien que non convergentes, présentent néanmoins une valeur finie, et parfaitement connue, par exemple les séries de Stirling, qui interviennent dans le calcul des factorielles. Le calcul de 1!, notamment, fait apparaître :

 

b2 /2  +  b4 /12  +  b6 /30    …..   +  bq / q(q-1)  =  1 - Ln(2p) /2

 

Pour les séries de ce type, plutôt que parler de « somme à l’infini », notion difficile à concevoir, nous parlerons plutôt d’« attribution de valeur », et  nous proposerons donc ici de voir s’il est possible d’attribuer une valeur à une série non convergente, et comment.

 

Prenons comme exemple la série :

 

r2 =  b4.z(2)/12 + b6.z(4)/30 + b8.z(6)/56 … + ….bq.z(q-2)/q.(q-1) ]

 

Représentée graphiquement ci-dessous (redressée) :

 

 

 

Cette série est de type pseudo-convergent, mais les raisonnements qui suivent sont valables pour n’importe quel autre type.

La représentation ci-dessus, que nous nommerons « diagramme en ligne brisée », fait nettement apparaître des points hauts définissant une enveloppe supérieure, et des points bas définissant une enveloppe inférieure. Si on s’arrête sur l’enveloppe supérieure, la série peut s’exprimer comme suit :

 

S(x)  =  s1  +  s2  +  s3  +  s4   …………        +  sx       ( x impair )

          - 2 [      s2            +  s4   …… +  sx-1    ]

 

Si on s’arrête sur l’enveloppe inférieure, on aura:

 

I(x)  =  s1  +  s2  +  s3  +  s4     ………  +  sx                 ( x pair )

         - 2 [      s2  +  s3  +  s4    ……….  +  sx ]

 

On peut démontrer que :

S(x) et I(x) sont interpolables en fonctions continues (quasi-évidence, ces fonctions résultant de sommes de termes s)

Ces deux fonctions sont symétriques par rapport à un axe horizontal.

 

L’ordonnée de cet axe horizontal, que nous considèrerons comme la valeur de la série S peut être calculée à partir des coefficients tayloriens de la fonction caractéristique, à savoir :

 

S = a0/2 + a1. [(b2 /2!) (22-1)] + a3. [(b4 /4 !) (24-1)] + a5. [(b6 /6!) (26-1)] +…. (1)

 

Le terme courant étant :  an. [(bn+1 /(n+1)!)) (2n+1-1)]

 

Voir démonstrations plus loin (Les nombres de Bernoulli expliquent l’absence des termes an pairs.)

 

L’expression S peut être calculée dans un certain nombre de cas :

- Quand elle correspond au développement d’une fonction analytique connue.

 - Numériquement dans le cas contraire. Il faut pour cela :

-  Que les coefficients a soient connus.

- Qu’ils ne soient pas trop divergents, notamment qu’ils ne comportent pas de factorielles, faute de quoi l’expression S n’est pas convergente.

 

Etablissement de la symétrie des enveloppes S(x) et I(x) :

A priori, la fonction S(x) n’est définie que pour les termes impairs, et la fonction I(x) que pour les termes pairs. Nous admettrons ici que, s’agissant de fonctions continues (même si on n’en connaît pas les équations), S(x) a également des valeurs pour les termes pairs, et I(x) pour les termes impairs (valeurs généralement inconnues)

 

Désignons :

 

Q(x)  =  s1  +  s2  +  s3  +  s4   …….   +  sx           ( x pair ou impair )

            T(x)  =            s2            + s4……..    +  sx            ( si x est pair )

             T(x-1) =         s2            + s4 …….   +s(x-1)        ( si x est impair )

 

L’enveloppe supérieure s’exprime alors :   S(x)  =  Q(x) - 2 T(x-1)

Et l’enveloppe inférieure :                           I(x)  =  Q(x) - 2 T(x)

 

Si on admet que toutes ces expressions ont des valeurs pour tous les x, pairs ou impairs, on peut faire apparaître une valeur moyenne, pour un x donné :

 

M(x)  =  (1/2)  [ S(x)  +  I(x) ]  =  Q(x) - T(x) - T(x-1)

 

Etude de la fonction T :

 

On a :    T(0)  =  0

              T(2)  =  s2

              T(4)  =  s2  +  s4            =  T(2)  +  s4

              T(6)  =  s2  +  s4  +  s6  =  T(4)  +  s6

             ……………………………………

              T(x)                            =  T(x-2)  +  sx

 

T étant considérée comme une fonction continue, la propriété ci-dessus doit nécessairement s’étendre à ses valeurs impaires (même inconnues) :

 Soit :

    T(3)  =  T(1)  +  s3

                T(5)  =  T(3)  +  s5

             …….etc………

 

Calculons maintenant les valeurs successives de M(x) :

 

M(1)  =  Q(1) - T(1) - T(0)  =  s1 - T(1)

M(2)  =  Q(2) - T(2) - T(1)  =  (s1+s2) - s2 - T(1)  =  s1 - T(1)

M(3)  =  Q(3) - T(3) - T(2)  =  (s1+s2+s3) – (T(1) +s3) - s2  =  s1 - T(1)

            ……………………………………………………………….

On voit qu’on retombe systématiquement sur la même valeur, ce qui signifie :

            - Que les enveloppes supérieure S et inférieure I sont symétriques par rapport à un axe horizontal d’ordonnée s1 - T(1).

            - Qu’on peut admettre par convention, (mais aussi très logiquement), que le résultat recherché pour S est :

                                                           S  =  s1 - T(1)     (2)

 

            Cette démarche est indépendante du fait que la série S soit de type convergent ou pas. On peut donc envisager de lever l’interdit dont sont frappées les séries non convergentes, et en conséquence de leur attribuer une valeur. Cette valeur est facilement calculable dans les cas où T est analytique.

 

Etude des séries d’entiers :  Sn = 1 - 2n + 3n - 4n …..+/- xn 

Examinons tout d’abord les séries :

Sn = 1 - 1/2ⁿ   + 1/3ⁿ  -  1/4ⁿ   ……  +/- 1/xⁿ

 

Celles-ci sont convergentes, ce qui permet de calculer facilement leur expression générale sans même passer par T(1), à savoir :

 

 Sn = z(n) . (1- 1/ 2n-1 )     (pour n˃1)

 

            On peut traiter par analogie les séries d’entiers qui en sont l’équivalent en remplaçant n par -n. Sachant que la fonction z conserve une signification pour les n négatifs, on peut admettre que la valeur de ces séries s’exprime :

 

                                               Sn = z(-n) . (1 - 2n+1)

           

Mais on sait également que :

                                               z(-n) = - bn+1 / (n+1)

 

Ce qui conduit finalement à :

                                               Sn = ( bn+1 / n+1) . (2n+1 - 1)   (3)

 

            On peut noter que, les nombres de Bernoulli impairs étant nuls, les séries Sn sont également nulles pour tous les n pairs (à l’exception du cas n = 0 sur lequel nous reviendrons).

            Les séries alternées d’entiers constituent une étape capitale, car c’est d’elles que découle la formulation des séries générales, comme on va le démontrer ci-après.

                 

            Démonstration de la formule (1) :

            La formule (3) ci-dessus va permettre d’établir la formule (1) :

            Présentons la série S sous forme de tableau :

 

S =  a0 + a1     +  a2 / 2!     +  a3 / 3!     + …...  an/ n!

    - (a0 + a1. 2 + a2. 22/ 2! + a3. 23/ 3! + …… an. 2n/ n!

    + a0 + a1. 3 + a2. 32/ 2! + a3. 33/ 3! + ….. . an. 3n/ n!

   ……………………………………………….

  +/- a0 + a1. q + a2. q2/ 2! + a3. q3/ 3! + ……an. qn/ n!

 

            En regroupant par colonnes, on trouve:

 

                a0  .      (1 - 1  +  1 -  1 … )  =  a0 / 2  

+  a1 .       (1 - 2  +  3 -  4 ….)  =  a1 .         (b2 / 2) . (22 - 1)

+( a3 / 3!) (1 - 23 + 33 - 43 …) = (a3 / 3!) (b4 / 4) . (24 - 1)

   …………………………………………

+ (an / n!) (1 - 2n + 3n - 4n …) = (an / n!) (bn+1 / n+1) . (2n+1 - 1)

 En regroupant les dénominateurs n! et n+1, on arrive bien au terme courant de la formule 1 :

an. [(bn+1 /(n+1)!)) (2n+1-1)]

 

            Rappelons que seuls existent les n impairs, ce qui a pour conséquence que des séries ne se différenciant que par leurs coefficients an pairs ont la même valeur. On en a un exemple simple avec les deux séries divergentes dont les termes courants sont respectivement :

                                               ex -1 =  x + x2/2! + x3/3! + ….xn/n!

                                               sh(x) =  x + x3/3! + x5/5! + ….xn/n!

 

            Pour revenir au tableau ci-dessus, sa première ligne constitue un cas particulier, car il est clair qu’on ne peut pas éliminer le terme a0 / 2. Elle peut toutefois « rentrer dans le rang » si on considère que b1 n’est pas nul, mais qu’on lui donne la valeur 1/2, qui paraît la plus pertinente par ailleurs.

Cette valeur est confirmée si on considère qu’on a une série alternée du type « dents de scie » dont les enveloppes sont des horizontales d’ordonnées 0 et 1, et à laquelle on peut donc logiquement attribuer la valeur 1/2.

Cela ne va pas de soi, car cette série 1 - 1 + 1 - 1 ….( ou série de Grandi), apparemment anodine, est pourtant au centre d’une controverse, car elle semble susceptible de se voir attribuer une infinité valeurs différentes, ce qui ruinerait l’hypothèse selon laquelle une série alternée ne peut avoir qu’une seule valeur attribuée. La réfutation de cette objection fait l’objet du paragraphe suivant :

 

            Paradoxe de la série de Grandi :

            On peut considérer que cette série est basée sur les développements des fractions de type :

 F = (1+x+x2+x3 …. +xp) / (1+x+x2+x3 …. +xq)          

  (avec  p ˂ q et quand x→ 1)

 

En faisant varier p et q, on voit que F peut prendre toutes les valeurs rationnelles (p+1)/(q+1) comprises entre 0 et 1. Or, si on établit le développement d’une fraction F quelconque, soit par identification, soit par division euclidienne, on constate que ce développement ne comporte comme coefficients que des 1 et des 0, les 1 étant alternativement positifs et négatifs. Dès lors, il paraît normal d’éliminer les termes à coefficients 0, ce qui ramène tous les développements des fractions F à la série de Grandi, qui pourrait donc bien se voir attribuer une infinité de valeurs. Si on veut lever ce paradoxe, il faut à l’évidence une investigation plus approfondie, basée sur la non élimination des 0.

On étudiera pour cela différentes catégories de séries : série de base, séries équivalentes et séries apparentées.

 

-          Série de base :

Elle découle de la fraction la plus simple, soit :  1 / (1+x) 

On sait que son développement est :  1 - x + x2 - x3 …., soit pour x = 1 :

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 …. La fonction caractéristique se résume à sx = 1 et son développement à a0 = 1. La valeur attribuée de la série est donc bien :

S = a0 / 2 = 1/2

 

-          Séries équivalentes :

 On entend par là l’ensemble des séries pour lesquelles la fraction F comporte deux fois plus de termes au dénominateur qu’au numérateur, et qui ont donc toutes pour valeur 1/2 (toujours pour x=1).

La première de ces fractions est :  (1+x) / (1+x+x2+x3)

Développement correspondant : 1-x2+x4-x6 …, soit, en faisant x=1 et en remettant les coefficients 0 :  1 + 0 - 1 + 0 + 1 - 0 - 1…. Si nous considérons cette série comme une série alternée, ses termes s successifs sont identiques à cette suite de coefficients. La fonction caractéristique est assez évidente :

sx = sin(p/2).x  ,     dont les coefficients tayloriens utiles sont :

 

a0 = 0     a1 = p/2    a3 = - (p/2)3     a5 = (p/2)5  ….an = +/- (p/2)n

 

L’expression de S est donc :

                                               S =   (p/2) (b2/2!) (22-1)

                                                   -

 (p/2)3(b4/4!) (24-1)

                                               …………………….. 

                                                 +/- (p/2)n (bn+1/(n+1)!) (2n+1-1)

 

            Qu’on peut décomposer en deux séries :

 

            S1 = (2/p) [(b2/2!).p2 - (b4/4!).p4.+/- (bq/q!).pq]

 

      Et  S2 = (2/p) [(b2/2!).(p/2)2 – (b4/4!).(p/2)4.+/- (bq/q!).(p/2)q]

 

            Les développements entre [ ] sont connus, et valent respectivement :

           

                                   1 - (p/2) cot(p/2) = 1      et    1 - (p/4) cot(p/4) = 1 - p/4

Ce qui donne pour S :

                                   S = S1 – S2 = (2/p) [1 – (1 – (p/4)] = 1/2

 

            On peut conjecturer qu’il en serait de même pour les autres séries du même type, d’où leur nom de séries équivalentes.

            Jusque-là, il n’y a pas encore de paradoxe. Celui-ci va apparaître avec les autres séries, dites apparentées. Nous en citerons trois :

 

-          Série apparentée découlant de la fraction :  1 / (1+x+x2+x3)

Valeur attendue : 1/4.

Le développement donne :  1 - x + x4 - x5 + x6 – x7…. Soit pour x=1 :

 1 - 1 + 0 - 0 + 1 - 1 + 0 - 0 …. Les termes s successifs sont cette fois :

 1   1    0    0    1   1     0   0   1   1   0   0 …

On montre facilement que la fonction passant par l’ensemble de ces valeurs est :

sx = 1/2 + (√2 / 2) sin[(p/2).x - p/4]   dont les coefficients tayloriens sont :

 

a0 = 0    a1 = p/4    a3 = -p3/16    a5 = p5/64 ….     an = +/- pn/2n+1

 

Ce qui donne pour S :

S = p/4 (b2/2!) (22-1)

- p3/16 (b4/4!) (24-1)

………………….

+/- [pn / (2n+1)] [bn+1/(n+1)!] (2n+1-1)

 

            Expression qu’on peut encore décomposer en deux séries :

 

S1 = (1/p) [(b2/2!) p2 - (b4/4!) p4 …. +/- (bq/q!) pq]

 

                 et  S2 = - (1/p) [b2/2!)(p/2)2 - (b4/4!)(p/2)4 …. +/- (bq/q!)(p/2)q]

 

Les expressions entre [ ] sont les mêmes que pour le cas précédent. Il reste pour S :

 

S = (1/p) [1- (1- p/4)] = 1/4   

 

- Série apparentée découlant de la fraction : (1+x+x2) / (1+x+x2+x3) Valeur attendue : 3/4.

            Le développement donne :  1 - x3 + x4 – x7 + x8 ….soit pour x=1 :

            1 - 0 + 0 - 1 + 1 - 0 + 0 - 1 + 1 …..d’où les termes s successifs :

            1   0    0    1    1   0    0    1    1   0   0

            La fonction caractéristique satisfaisant à ces valeurs est :

 

            sx = 1/2 + (√2 / 2).sin[(p/2).x + p/4]

                                            dont les coefficients tayloriens sont les mêmes que pour le cas précédent, à l’exception de a0 qui vaut 1.

            Pour S, on peut donc reprendre la valeur précédente,  en lui ajoutant 

 a0/2 = 1/2, ce qui conduit bien à :

 

            S = 1/4 + 1/2 = 3/4    

 

-          Série apparentée découlant de la fraction : (1+x) / (1+x+x2)

 Valeur attendue : 2/3

            Le développement donne : 1 – x2 + x3 – x5 + x6 – x8 …soit pour x=1 :

            1 - 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + 1 - 0 - 1…..d’où les termes s successifs :

            1   0  -1   -1    0    1    1    0  -1

            La fonction caractéristique satisfaisant à ces valeurs est :

 

            sx = (2 / √3) sin[(- p/3).x + 2p /3]

                                                                       dont les coefficient tayloriens sont :

a0 = 1    a1 = (p/3)/√3    a3 = - (p/3)3/√3    a5 = (p/3)5/√3 …..  an = +/- (p/3)n/√3

 

            L’expression de S est donc :

                                                           S = 1/2

                                                              + (p/3)/√3 (b2/2!) (22-1)

- (p/3)3/√3 (b4/4!) (24-1)

………………………..

                                                            +/- [(p/3)n/√3] [bn+1/(n+1)!] (2n+1-1) 

La décomposition donne : 

 

S = 1/2 + (√3/p) [(b2/2!) (2p/3)2 - (b4/4!) (2p/3)4 …. +/- (bq/q!) (2p/3)q]

                          - (√3/p) [(b2/2!) (p/3)2 -  (b4/4!) (p/3)4  ….  .+/- (bq/q!) (p/3)q]       

 

            Les expressions entre [ ] valent cette fois :

 

            1 – (p/3). cot(p/3) = 1 - p√3/9   et   1 – (p/6). cot(p/6) = 1 - p√3/6

 

Ce qui conduit pour S à :

                                   S = 1/2 + (√3/p) [(1- p√3/9) - (1- (p√3/6)]

 

            Soit, après calcul : S = 2/3

 

            - Série apparentée découlant de la fraction :  (1+x+x2) / (1+x+x2+x3+x4)

Valeur attendue : 3/5

            Le développement donne : 1-x3+x5-x8+x10-x13 …. Soit pour x=1 :

            1 - 0 + 0 - 1 + 0 + 1 + 0 - 0 - 1…. D’où les termes successifs :

            1   0    0    1    0  - 1    0   0   -1

                                                           Dont la présentation ci-dessous permet de visualiser approximativement la courbe qui les relie :

                     1               1                                      1                1

    

  (0)       0     0         0         0     0         0         0     0

   

                                    -1               -1

On voit assez nettement que cette courbe ne correspond pas à une sinusoïde pure. Un examen plus approfondi montre qu’elle se compose d’une fondamentale de période 5 et d’un harmonique 3 dont les équations sont :

 

l1.sin[(p/5).x]         et   l3.sin[(3p/5).x]

 

Avec l1 = (1+t2)1.5 / (t2+5).t ≈ 0,47    l3 = 2(1+t2) / (t2+5).t ≈ 0.761     t = tg(p/10)

 

            Sans entrer dans le détail des calculs numériques, l’application de la méthode utilisée pour les cas précédents permet de calculer une valeur S1 correspondant à la fondamentale et une valeur S3 correspondant à l’harmonique, soit :

            S1 = [(5/p).0,47].[(p/10).cot(p/10) - (p/5).cot(p/5)] ≈ 0,076

 

            S3 = [(5/3p).0,761].[(3p/10).cot(3p/10) - (3p/5).cot(3p/5)] ≈ 0,524

 

            La somme S = S1 + S3  donne bien 0,6 soit le chiffre attendu.

            Cet exemple montre qu’à partir d’une certaine complexité de la fraction F, la fonction caractéristique est chargée d’harmoniques, mais que ce phénomène n’empêche pas qu’on retrouve le résultat attendu.

 

            Evaluation des séries de Grandi par la formule 2 :

            Dans ce qui précède, on a fait l’évaluation des séries par la formule 1, avec des résultats satisfaisants. Il est intéressant de vérifier que ces évaluations  par la formule 2, soit S = s1 – T(1) conduisent aux mêmes résultats. Ce travail a été fait pour le dernier des cas ci-dessus (fraction 3/5). Sans entrer dans les détails du calcul, on  peut faire apparaître la fonction T(x) liée à ce cas, découlant des valeurs successives de T, qui sont égales à zéro, à l’exception de T(4), T(14), T(24)… etc, qui valent 1. On obtient l’équation :

 

            T(x) = 0,2 + 0,4 sin[(p/5).x – 3p/10]] + 0,4 sin[(3p/5).x + p/10]

 

            Qui donne pour x = 1 : T(1) = 0,4

            Ce qui conduit bien à S = 1 - 0,4 = 0,6  chiffre attendu.

            On observe que la fonction T présente une allure similaire à celle de la fonction caractéristique, à savoir une fondamentale de période 10 et un harmonique 3.

 

            - Amorce de généralisation :

            On peut tenter de généraliser ce calcul à l’ensemble des fractions F définies comme on l’a vu par :

                                               F = (1+x+x2….. +xp) / (1+x+x2 ….+xq)

 

            Sous cette forme générale, la division euclidienne donne :

 

            1 - xp+1 + xq+1 - xp+q+2 + x2q+2 - xp+2q+3 + x3q+3 - xp+3q+4 ….

 

            En faisant x=1, on constate que la série résultante est une suite de 1 alternativement positifs et négatifs, avec des zéros s’intercalant comme suit :

            p zéros dans les intervalles entre 1 et -1

            (q-p-1) zéros dans les intervalles entre -1 et 1

            (comme on a stipulé que q est au moins égal à p+1, le nombre de zéros ne peut jamais être négatif)

            On peut vérifier que les cas traités ci-dessus répondent bien à ces conditions.

            On voit apparaître une périodicité égale, en première analyse, à (q+1), ce qui indique des fonctions caractéristiques périodiques, et laisse supposer qu’on tombera systématiquement sur des expressions de S contenant des développements de cotangentes.

            Il reste à démontrer que ces expressions seront bien toujours égales à (p+1) / (q+1), généralisation restant pour le moment à l’état de conjecture.

            Remarque 1 : Les polynômes apparaissant dans les fractions F peuvent être  multipliés par x-1, ce qui fournit une autre présentation de ces fractions. Forme générale : (1+x+x2+x3 …. +xp) . (x-1) = xp+1 - 1. En le faisant à la fois au numérateur et au dénominateur, les fractions étudiées plus haut deviennent :

 

1/2 : (x-1)/(x2-1)     2/4 : (x2-1)/(x4-1)     1/4 : (x-1)/(x4-1)     3/4 : (x3-1)/(x4-1)

2/3 : (x2-1)/(x3-1)    3/5 : (x3-1)/(x4-1)

 

            L’identité pour x→1est moins évidente qu’avec les polynômes, mais le devient si on remplace x par x+e  (e→0)

            Remarque 2 : Dans les travaux qui précèdent, on a un peu perdu de vue le point de départ, à savoir que la valeur attribuée à une série alternée correspond à l’axe de symétrie des enveloppes supérieure et inférieure. Avec les fonctions caractéristiques périodiques, cette terminologie ne s’applique plus très bien ; il faut plutôt parler d’enveloppes impaire et paire, correspondant respectivement aux points d’abscisses impaires et paires. Le tracé des enveloppes devient alors moins évident, car elles-aussi sont de nature périodique, mais on peut quand même les faire apparaître, comme le montrent les figures ci-dessous, sur lesquelles ont été portées, pour les fractions 3/4 et 3/5 :

            - La fonction caractéristique présentée sous la forme d’un diagramme « en bâtons » défini à partir du développement de la fraction correspondante, en inversant le signe des bâtons d’abscisses paires. Pour la fraction 3/4, on est conduit à n’avoir que des bâtons positifs. La fonction qui les relie ne comporte donc que des 1 et des 0, et se présente à l’évidence comme une sinusoïde pure. Pour la fraction 3/5, par contre, on observe aussi des bâtons négatifs, et un examen attentif montre que la fonction correspondante ne peut pas être une sinusoïde pure, mais comporte une fondamentale et une harmonique 3, ce que confirme le calcul. 

            - Le diagramme en ligne brisée par lequel on représente habituellement une série alternée, accompagné des enveloppes impaire et paire joignant les sommets correspondants. On constate que ces enveloppes n’ont pas un aspect convergent, divergent, ou « en tuyère » (voir l’exemple de la constante r2 présenté plus haut), mais qu’elles se coupent du fait de leur caractère périodique, ce qui ne les empêche pas de présenter des axes de symétrie dont les ordonnées correspondent bien aux valeurs attendues, soit 0,75 et 0,6.

            Il y a manifestement une parenté d’allure entre les enveloppes et les fonctions caractéristiques. Pour la fraction 3/5, en particulier, on retrouve sur les enveloppes la fondamentale de période 10, avec présence d’un harmonique 3, mais avec des amplitudes plus faibles.

 

            Remarque : On peut aussi mettre en évidence la valeur de S en remarquant qu’elle est égale à l’ordonnée moyenne du diagramme en ligne brisée, et se ramène donc à un calcul d’aires de trapèzes. Ce corollaire du calcul par la fonction caractéristique conduit d’ailleurs bien plus rapidement au résultat. La démonstration en est quasi évidente : la grande et la petite base des trapèzes étant égales à p+2 et p, l’aire d’un trapèze vaut donc p+1. L’ordonnée moyenne  s’obtient en divisant cette aire par la période, ce qui donne bien (p+1) / (q+1).

 

 

 

            Remarque : Si on considère que le propre d’une fonction caractéristique est de passer par tous les points correspondant à la série étudiée, on a presque toujours le choix entre plusieurs fonctions possibles, voire une infinité. Dans les exemples présentés ici, on a intuitivement choisi les fonctions les plus « allongées », celles dont la période est la plus grande. Mais si on fait appel à des périodes plus courtes, on peut en faire apparaître beaucoup d’autres. Si nous prenons l’exemple de la fraction 3/4, rappelons que la fonction caractéristique représentée par la courbe ci-dessus est :

 

            sx = 1/2 + (√2 / 2).sin[(p/2).x + p/4]

 

            Un examen plus poussé montre qu’on peut aussi admettre comme fonctions caractéristiques les deux familles suivantes :

 

sx = 1/2 + (√2 / 2).sin[(k.p/2).x + p/4]     avec k = 1, 5, 9 …soit k = 1 + 4n

           

sx = 1/2 + (√2 / 2).sin[(k.p/2).x + 3p/4]   avec k = 3, 7, 11…soit k = 3 + 4n

 

            (n étant un entier de 0 à ∞)

            Toutes les fonctions ainsi définies sont acceptables comme fonctions caractéristiques, dans la mesure où elles répondent aux deux critères :

            - Passer par tous les points voulus.

            - Conduire au bon résultat pour S, à savoir 3/4, quand on leur applique le calcul par leurs dérivées impaires.

            On pourrait multiplier les exemples, en évitant certains « cas interdits » faisant apparaître sin(kp.x+a), qui conduiraient à l’expression cot(kp.x), laquelle n’est pas définie.

 

            Conclusion provisoire :

            Les cas apparemment paradoxaux étudiés ne prennent pas en défaut la méthode de calcul des séries alternées présentée plus haut, ni le fait qu’une série alternée ne possède qu’une seule valeur. Par contre, on a vu que des séries admettent plusieurs fonctions caractéristiques conduisant toutes à cette valeur.

            Si la démonstration n’est pas assez convaincante, il serait intéressant de rechercher d’autres cas paradoxaux, éventuellement différents de la série de Grandi, et de voir si on peut les réfuter comme ceux qui viennent d’être examinés.

            Si la démonstration est admise, on dispose, entre les formules (1) et (2), de moyens permettant d’attribuer une valeur S à de nombreuses séries non convergentes. Dans les cas où ces formules ne marchent pas, il ne faut pas en conclure que S n’existe pas, mais seulement qu’on ne sait pas la calculer analytiquement.

 

            Il existe cependant des cas où on peut, par des astuces de calcul numérique, obtenir des valeurs très précises. Cela se produit notamment avec les séries où apparaît la fonction z, par exemple la série r2 citée plus haut, particulièrement intéressante dans la mesure où elle conduit à la valeur de z (3).

            Rappelons son expression :

 

            r2 = b4 . z (2) /12 + b6 . z (4) /30 …. + b2q . z (2q-2) / 2q.(2q-1)

 

En décomposant les z, on peut l’écrire comme suit :

                                                                          

            ∑ [b4 / 12n2 + b6 / 30 n4 ….] = ∑ n . [b4 / 12n3 + b6 / 30n5 ….]

           n=1                                                                   n=1

L’expression [ ] n’est autre que le terme complémentaire de Ln(n!) dans la formule de Stirling, « amputé » de b2 /2n, ce qui donne :

 

[ ] = Ln(n!) - n.Ln(n) + n - Ln(n) /2 - Ln(2p) /2 - b2 /2n

 

Les premières lignes peuvent s’écrire :

 

                                   1                  - Ln(2p) /2 - b2 /2    - 0.00227187 

 2 [Ln(2!) - 2.Ln(2) + 2 - Ln(2) /2 - Ln(2p) /2 - b2 /4]    - 0.00065194

 3 [Ln(3!) - 3.Ln(3) + 3 - Ln(3) /2 - Ln(2p) /2 - b2 /6]

           …………….etc……………..

La méthode, dite « des délestages », consiste à calculer un certain nombre de lignes et à ajouter un reste qui sera :                

- Si on ne calcule que la première ligne : ∑ [b2q /2q.(2q-1)] . [z (2q-2) - 1]

                                                                    2

- Si on calcule un plus grand nombre de lignes, la seconde expression [ ] est remplacée par : [z (2q-2) - 1 - 1/22q-2], puis par : [z (2q-2) - 1 - 1/22q-2 - 1/32q-2].. etc.

Le reste est toujours une série alternée pseudo-convergente. Plus on a calculé préalablement de lignes, plus les termes de la série sont petits, plus la divergence commence tard, et plus on a une bonne précision. Par exemple :

- Si on ne calcule que la première ligne, on trouve pour le reste (avec six termes) : - 0.001734, ce qui donne pour r2 : - 0.004006

- Si on calcule les deux premières lignes, on trouve pour le reste (avec sept termes) : - 0.00108222, ce qui donne pour r2 : - 0.00400603.

Une ligne a donc fait gagner deux décimales, ce qui donnerait pour z (3) :    

1.2020569, soit sept décimales. On voit qu’au prix d’un peu plus de calcul, on peut augmenter la précision autant qu’on le souhaite. La seule limite est la connaissance des grands nombres de Bernoulli, ce qui laisse une grosse marge d’amélioration.

            La question peut se poser de considérer l’ensemble des lignes pour n allant de 1 à ∞, et de voir ce que donne un regroupement par colonnes. Cette voie ne donne rien. Au terme de ce travail, on arrive en effet à l’identité r2 = r2, qui a comme seul mérite de montrer que les calculs sont justes.

 

            Quelques applications :

 

            - Développements de logarithmes :

            Le développement de Ln(2), soit : 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 …. est particulièrement intéressant par ses retombées. Il peut s’aborder par les deux approches :

            Approche par la formule 2 : la fonction T s’écrit :

 

            T(x) = 1/2 + 1/4 + 1/6 ….1/x = 1/2 [1 + 1/2 +1/3 ….+1/(x/2)]

 

            La série entre [ ] n’est autre que la série harmonique arrêtée à x/2 que nous dénommons h1(x/2). La formule 2 nous donne :

 

            Ln(2) = s1 - T(1) = 1 - 1/2 [h1(1/2)]

 

            L’intérêt de cette formule n’est évidemment pas de calculer Ln(2), mais plutôt h1(1/2), soit :

                                   h1(1/2) = 2.[1 - Ln(2)]  ≈ 0,614

 

            Si on admet que cette fonction h1 est interpolable entre ses valeurs entières, cette expression permet de la « baliser » pour toutes ses valeurs d’abscisses : - 0,5   0,5   1,5   2,5   3,5  ….etc. En attendant mieux.

 

            Approche par la formule 1 : Ecrivons :

 

S = 1 - Ln(2) = 1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 …. La fonction caractéristique est :

sx = (x+1)-1      Soit s0 = 1.   Les dérivées qui nous intéressent sont, pour x = 0 :

 

a1 = -1   a3 = -3!   a5 = -5! ….  an = -n!    ce qui conduit à :

 

S = 1/2 - [(b2/2!) . (22-1) + (3! b4/4!) . (24-1) + (5! b6/6!) . (26-1) ….]

  

    = 1/2 - [(b2/2) . (22-1) + (b4/4) . (24-1) + (b6/6) . (26-1) …..]

 

            On peut remarquer que l’expression entre [ ] n’est autre que la suite des valeurs attribuées aux séries alternées d’entiers, à partir de la deuxième (la première étant la série de Grandi). On a donc :

 

            Ln(2) = 1 - S = 1/2 + [ ]

 

1/2  étant la valeur attribuée à la série de Grandi, on arrive au théorème suivant :

L’addition des valeurs de l’ensemble des séries alternées d’entiers conduit au nombre Ln(2).

 

- Quelques relations concernant les nombres de Bernoulli :

Repartons de l’expression générale : S = s1 - s2 + s3 - s4 ….

 

Et abordons son calcul en passant par la fonction T(x) = s2 + s4 + s6 … + sx :

 

T(x) = a0 + a1.2 + a2.22/2! + a3.23/3! …. + aq.2q/q!

        + a0 + a1.4 + a2.42/2! + a3.43/3! …..+ aq.4q/q!

            ……………………………………………..       (Tableau de x/2 lignes)

        + a0 + a1.x + a2.x2/2! + a3.x3/3! …..+ aq.xq/q!

 

            En effectuant les regroupements par colonnes et en factorisant chaque fois 2q, on arrive à :

 

T(x) = a0.[x/2]

                    + a1.(2).[1 + 2 + 3 …+ x/2]

                    + a2.(22/2!).[1 + 22 + 32 …+ (x/2)2]

                    + a3.(23/3!).[1 + 23 + 33 …+ (x/2)3]

                        ………………………………………….

                    + aq.(2q/q!).[1 + 2q + 3q.+ (x/2)q]

 

On sait que les expressions entre [ ] peuvent être mises sous la forme de polynômes en x de degré q+1, dont les coefficients sont définis en fonction des nombres de Bernoulli. Après cette transformation, si on fait x = 1, on arrive à l’expression de T(1) :

   a0.[1/2]

+ a1.[1/2             + 1/(2.2!)]

+ a2.[(b2/2!).2     + 1/(2.2!)         + 1/(2.3!)]

+ a3.[(b2/2!).2/2! + 1/(2.3!)         + 1/(2.4!)]

+ a4.[(b4/4!).23    + (b2/2!).2/3!   + 1/(2.4!)         + 1/(2.5!)]

+ a5.[(b4/4!).23/2!+ (b2/2!).2/4!   + 1/(2.5!)         + 1/(2.6!)]

+ a6.[(b6/6!).25    + (b4/4!).23/3!  + (b2/2!).2/5! + 1/(2.6!) + 1/(2.7!)]

……………………………………………………………

Avec s1 = a0 + a1 + a2/2! + a3/3! …. + aq/q!  , il reste à appliquer la formule 2, soit : S = s1 - T(1) . On obtient une présentation plus simple en regroupant les fractions rationnelles, ce qui donne pour S :

   a0.[1/2]

+ a1.[1/4]

+ a2.[2/(2.3!) - (b2/2!).2]

+ a3.[3/(2.4!) - (b2/2!).2/2!]

+ a4.[4/(2.5!) - (b4/4!).23     - (b2/2!).2/3!]

+ a5.[5/(2.6!) - (b4/4!).23/2! - (b2/2!).2/4!]

+ a6.[6/(2.7!) - (b6/6!).25     - (b4/4!).23/3! - (b2/2!).2/5!]

………………………………………………………….

On peut maintenant identifier ligne par ligne avec les expressions issues de la formule 1, qui sont nulles pour  les a pairs, et valent [bn+1/(n+1)!] . (2n+1 - 1) pour les a impairs. Pour les a pairs, on obtient :

 

[bn/n!] . 2n-1 + [bn-2/(n-2)!] . 2n-3/3! + [bn-4/(n-4)!] . 2n-5/5! …. = n / 2.(n+1)!

 

Expression qui peut s’écrire, en multipliant par 2(n+1)! :

 

2n.bn .[(n+1)!/n!] + 2n-2.bn-2 .[(n+1)!/3!(n-2)!] + 2n-3.bn-3.[(n+1)!/5!(n-4)!] …. = n

 

            On remarque que les expressions entre [ ] sont des coefficients binomiaux, ce qui permet d’écrire l’expression plus simplement :

 

2n. C1n+1 . bn + 2n-2. C3n+1 . bn-2 + 2n-4. C5n+1 . bn-4 … + 22. C2n+1 . b2 = n

 

Avec les a impairs, on a :

 

[bn-1/(n-1)!].2n-2/2! + [bn-3/(n-3)!].2n-4/4! ... = n / 2.(n+1)! - [bn+1/(n+1)!].(2n+1-1)

 

Avec les mêmes simplifications que pour les a pairs, on obtient l’expression :

 

            2n-1. C2n+1 . bn-1 + 2n-3. C4n+1 . bn-3 …. = n - 2 . bn+1 . (2n+1-1)

 

Qu’on peut encore améliorer avec la transposition : n-1→ n :

 

2n. C2n+2 . bn + 2n-2. C4n+2 . bn-2 ... + 22. C2n+2 . b2 = n + 1 - 2.bn+2 . (2n+2-1)

 

Si on soustrait l’une de l’autre les deux expressions ci-dessus et si on fait jouer la règle du triangle de Pascal pour les coefficients binomiaux, on fait apparaître une troisième expression :

 

2n. C2n+1 . bn + 2n-2. C4n+1 . bn-2 + 22. C1n+1 . b2 = 1 - 2.bn+2 . (2n+2-1)

 

Toutes ces expressions peuvent être utilisées comme des formules de génération par récurrence des nombres de Bernoulli, au même titre que la formule classique rappelée ici pour mémoire :

 

C1n+1 . bn + C3n+1 . bn-2 + C5n+1 . bn-4 …. + C2n+1 . b2 = (n - 1) /2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 ANNEXE 2 :  NOMBRES  DE  BERNOULLI .

 

 FONCTIONS  TÊTA  ET  SIGMA

 

 

            Guinot rappelle dans son chapitre C1 qu’ils apparaissent en 1713, à l’occasion de la généralisation des sommes de type :

 

hn+ (x) = 1 + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ         +  xⁿ 

 

qui peuvent s’exprimer par des polynômes de degré n+1, dont les termes font apparaître ces nombres, qui sont :

 

b0 = 1    b1 = 1/2    b2 = 1/6    b4 = - 1/30    b6 = 1/42    b8 = - 1/30    b10 = 5/66

………etc…………….

                        (A partir de b3, tous les impairs sont nuls)

Par ailleurs, ces mêmes nombres sont généralement présentés comme étant les coefficients du développement taylorien de la fonction :  x / ( ex - 1) , avec une différence notable pour b1 qui vaut alors - 1/2.

            Dans les domaines abordés dans cette étude, la valeur 1/2 est beaucoup mieux adaptée. Si on tient à avoir une fonction génératrice, il suffit d’adopter :

                  

            [ x / ( ex - 1) ]  +  x  =  x / (1 - e-x )   

 

            L’expression générale de hn+ (x) est :

 

            hn+ (x) = C0 . xn+1  +  C1 . xn  +  C2 . xn-1   ….   + Cn . x

 

Le coefficient de rang p s’exprimant par :  Cp  =  (bp / p!) . n!/ [(n+1-p)!]

           

On a ainsi, pour les premières expressions :

        p =     0                 1                   2                    4                    6

h1+ (x) = (b0 /2) . x2  +  b1 . x                                     

h2+ (x) = (b0 /3) . x3  +  b1 . x2  +         b2 . x             

h3+ (x) = (b0 /4) . x4  +  b1 . x3  +   1,5 b2 . x2            

h4+ (x) = (b0/5) . x5  +  b1 . x4   +     2 b2 . x3    +      b4 . x

h5+ (x) = (b0/6) . x6  +  b1 . x5   +   2,5 b2 . x4  + 2,5 b4 . x2

h6+ (x) = (b0/7) . x7  +  b1 . x6    +     3 b2 . x5     +    5 b4 . x3   +    b6 . x

…………………….etc………………………

            Soit :

h1+ (x) = x2/2  + x/2

h2+ (x) = x3/3 + x2/2 + x/6

h3+ (x) = x4/4 + x3/2 + x2/4

h4+ (x) = x5/5 + x4/2 + x3/3 – x/30

…………………….etc………………………………………………….

 

            Les fonctions h+ s’inscrivent logiquement dans le prolongement des fonctions h (qu’on devrait logiquement appeler h - ). On a ainsi :

 

            h0+ (x) = h0 (x) = x

 

            Dans leur présentation polynômiale, les fonctions h+ s’étendent aux valeurs non entières de x, sont dérivables et intégrables. On peut en particulier retrouver la fonction qn+ définie comme pour les fonctions h, soit :

                     1

            qn+ = ∫  hn+ (x) . ∂x

                    0

Intégrons terme par terme la fonction hn+ (x), chaque terme étant de la forme :  Cp . xn+1- p

                Après intégration, le coefficient du terme courant devient :

 

Cp / (n+2-p) = (bp /p!) . n! / (n+2-p)!   , qu’on peut écrire :

 

                          = [1/(n+1)] . [(bp / p!) . (n+1)! / (n+2-p)!]

 

            On constate que le second facteur n’est autre que le coefficient du terme correspondant du polynôme de degré immédiatement supérieur.

Si on fait la même chose pour tous les termes de hn+ (x), on retrouvera, au facteur 1/(n+1) près, la fonction hn+1(x), à laquelle il ne manquera que son dernier terme, soit bn+1 . x  . On arrive donc à :

            x

            hn+ (x) . ∂x  =  [h(n+1)+ (x)  -  bn+1 . x] / (n+1)

            0

            En intégrant de 0 à 1, on obtient finalement la fonction Têta :

 

            qn+  =  (1 - bn+1) / (n+1)                                                   (1)

 

            Nous reviendrons plus loin sur les fonctions hn+ (x), qui s’avèreront utiles dans l’étude des hyperfactorielles (Annexe 4).

 

Passage à Zêta :       

Dans le chapitre 2 de l’approche « hyperfactorielles », on a vu l’expression de qn :

                  qn  =  z(n) - [1 / (n-1)]

 

Si on admet que cette relation se prolonge du côté des hn+ , on peut faire apparaître une notion de z négatives, en remplaçant n par -n :

 

            z (-n) = qn+  +  [1 / (-n-1)]  =  qn+  -  [1 / (n+1)]

 

 soit, en remplaçant qn+  par son expression ci-dessus :

 

z(-n) = - bn+1 / (n+1)                                                        (2)

 

On peut ainsi dresser le tableau de correspondance suivant :

 

b1 = 1/2         q0   = 1/2            z (0) = - 1/2

b2 = 1/6         q1+ = 5/12          z (-1) = - 1/12

b3 = 0            q2+ = 1/3            z (-2) = 0

b4 = -1/30     q3+ = 31/120       z (-3) = 1/120

………………..etc………………..

 

On constate qu’on retrouve bien les z négatives telles que calculées dans l’approche hyperfactorielles.

 

Remarque : le raisonnement ci-dessus permet bien de faire apparaître une continuité de la fonction z de - ∞ à + ∞. Par contre, la définition initiale, soit :

z (n) = 1 + 2- n + 3- n …..  ne peut s’appliquer que pour n > 1, et conduit à une valeur non définie en deçà. Il serait par exemple aberrant d’écrire :

 

Pour n = - 1 :   z (-1) = 1 + 2 + 3 …..  = - 1/12

 

            Enfin, comme on peut donner des valeurs aux z négatives, on peut également faire apparaître une notion de b négatifs en transformant la formule ci-dessus :

 

            bn+1 / (n+1) = - z (-n)   qui donne :  b-n = n.z (n+1)       (3)

 

            soit : b-1 = z (2)       b-2 = 2.z (3)       b-3 = 3.z (4)  ….etc

 

On trouvera ci-après rassemblées sur le même graphique les courbes représentatives des fonctions z, θ, b, de -à +∞.

 

 

 

 

 

 

 

 

On peut faire sur ces courbes les remarques suivantes :

Elles présentent toutes une branche non oscillante et une branche oscillante. Pour une bonne correspondance, les branches oscillantes ont été placées en partie gauche, ce qui conduit à voir la fonction Zêta comme à l’accoutumée, mais à inverser la représentation des nombres de Bernoulli.

Les parties oscillante et non oscillante des courbes se raccordent parfaitement, notamment pour la fonction Bernoulli, ce qui n’aurait pas été le cas si on avait conservé b1 = - 1/2 .

Contrairement à Zêta, la fonction Têta ne présente aucune discontinuité, ce qui confirme son utilité pour assurer la transition entre les deux branches de Zêta.

Pour ses valeurs négatives paires, la fonction q retrouve celles de sa courbe « porteuse », d’équation 1/(1-n) . Pour ses valeurs impaires, elle est tantôt au-dessus, tantôt au-dessous.

Le caractère oscillant de la fonction qn+ est peu visible pour les petites valeurs de n. Il le devient quand on dépasse n = 10, ce qui se confirme si on trace les courbes hn+ entre 0 et 1 :

 

On voit clairement que les quatre premières courbes présentent une relative continuité en ce qui concerne leurs intégrales entre 0 et 1. Nettement au-delà, l’intégrale q reste positive pour les courbes de rang 11, 15, 19…. et devient négative pour celles de rang 13, 17, 21…. Plus on va vers les indices élevés et plus le phénomène s’accentue, la fonction Têta tendant asymptotiquement vers celle de Bernoulli, à l’échelle 1/n et avec un décalage horizontal d’une unité.

 

Nous avons utilisé l’expression « fonction de Bernoulli », alors qu’on ne parle habituellement que des « nombres de Bernoulli ». Mais ces derniers étant liés à la fois aux fonctions Zêta et Têta, et ces fonctions étant définies pour les valeurs non entières de n, on peut effectivement parler d’une fonction continue de Bernouilli, une façon simple de définir cette fonction étant de la considérer comme une fonction complexe dont on ne s’occupe, pour l’immédiat, que de la partie réelle, soit, en introduisant z (n) par la formule d’Euler :

 

bn =  [2 .n! z (n) / (2p)n)] . [- cos(p.n/2) + i .sin(p.n/2)]

 

Cette formule pouvant apparaître un peu « parachutée », on peut la conforter en faisant appel à la formule suivante, figurant dans l’ouvrage de Zisman (p 227) :

 

G(n/2) .z(n) / pn/2  =  G(1/2 – n/2) .z (1-n) / p(1-n) /2

 

qui ne doit rien à la trigonométrie. Or, convenablement retravaillée en faisant appel aux formules spécifiques de la fonction Gamma (formule des compléments et formule du doublement), elle permet de retrouver la formule 5 de l’approche hyperfactorielles (chapitre 4), qui prend elle-même comme hypothèse l’aspect trigonométrique des nombres de Bernoulli. (En fait, le caractère trigonométrique est introduit par la formule des compléments.)

 

En plus des sommes hn+(x) et des valeurs paires de la fonction Zêta, les nombres de Bernoulli apparaissent dans de nombreux domaines de l’analyse mathématique :

-          Développements de fonctions, notamment :

-           

th(x) , coth(x) , 1/sh(x) , Ln[sin(x)] , Ln[cos(x)] , Ln[tg(x)]

 

- Formule d’intégration d’Euler et formule sommatoire d’Euler-MacLaurin (Cf Guinot p 357), cette dernière nous intéressant particulièrement, car elle permet de calculer une somme de quantités discrètes, et s’écrit comme suit (dans sa forme la plus simple, à savoir sans reste) :

                        n

f(1) + f(2) +…..f(n) = ∫  f(x) ∂x + f(1)/2 + f(n)/2 ….

                                   1

    + (b2/2!) [f’(n) – f’(1)] + (b4/4!) [f(3)(n) – f(3)(1)] + ….

 

            Elle s’applique à condition que la fonction f soit intégrable et dérivable sur tout l’intervalle 1, n.

            C’est cette formule qui permet à Guinot de calculer la valeur numérique de z (3) avec pas moins de 20 décimales.

            C’est elle, également, qui permet de calculer l’expression :

            

 ∑ pk.Ln [1+x2/p2]]

  1

qui intervient dans le calcul des z impairs par l’approche « par l’intégrale », et qui est donc capitale pour cette étude.

 

C’est encore cette formule qui permet d’établir de façon commode la formule de Stirling de calcul des factorielles, à laquelle nous consacrerons le paragraphe suivant.

 

 

La formule de Stirling et la fonction Sigma :

 

Expression logarithmique de la factorielle :  Ln (n!) = Ln (1) + Ln (2) + ... Ln (n)

                             n

Partie intégrale :  Ln (n). ∂n = n. Ln (n) - n + 1

                            1

Valeurs extrêmes :  se limitent à la seconde, soit : Ln (n) /2

Partie « Bernoulli » : Les dérivées impaires de Ln (n) sont :

f’ = 1/ n       f(3) = 2! / n3       f(5) = 4! / n5  ……..   f(k) = (k-1)! / nk

réduites aux factorielles pour n = 1

ce qui conduit à (en regroupant les constantes :

            Ln (n!) = n. Ln (n) - n + Ln (n) /2 + [b2/2.n + b4/12.n3 + b6/30.n5 + ….]

                                                                   + [1 - (b2/2 + b4/12 + b6/30 + ….]

La première expression entre [ ] est une fonction que nous nommerons s (n) et sur laquelle nous reviendrons.

La deuxième expression entre [ ] est une constante que nous nommerons C et qu’on peut déterminer grâce à la formule de Wallis, soit :

 

            p =  [24n. (n!)4] / [n. (2n)!2] ,  soit, sous la forme logarithmique :

 

            Ln (p) = 4.n.Ln (2) + 4. Ln (n!) - Ln (n) - 2. Ln [(2n)!]

 

            Cette formule s’entend pour n →   . On peut donc remplacer Ln (n!) et Ln [(2n)!] par leurs expressions définies ci-dessus, en considérant que s(n) = 0 et en introduisant C. Après de nombreuses simplifications, on arrive à :

            Ln (p) = - Ln (2) + 2. C  , soit C = Ln (2p) /2

            La formule de Stirling peut donc s’exprimer : 

 

            Ln (n!) = n. Ln (n) - n + Ln (n) /2 + Ln (2p) /2 + s(n)                (4)

 

            La fonction s(n) n’étant pas convergente, cette formule est donc parfois réduite à son premier terme 1/ 12.n, et considérée comme permettant de calculer numériquement les factorielles avec une approximation d’autant meilleure que n est plus grand. Si on admet que les séries non convergentes sont « réhabilitées », on peut considérer que la formule de Stirling est exacte quel que soit n, et donc utilisable dans les calculs analytiques.

 

            Considérations sur la fonction s(n) :

            Cette fonction peut s’exprimer de deux manières :

 

1ère forme :    s(n) = b2/2.n + b4/12.n3 + …..bq / [q.(q-1). nq-1

 

2ème forme : s(n) = Ln (n!) - n. Ln (n) + n - Ln (n) /2 - Ln (2p) /2

 

            - Dérivées par la 1ère forme :

          

s’ = - ∑ bq / q.nq

           2     

 

                      

s’’ = ∑ bq / nq+1

          2            

s(3) = - ∑ (q+1).bq / nq+2

                       ……..    2 …………….

                 

s(k) = +/- ∑ (q+1).(q+2)…..(q+k-2).bq / nq+k-1

      2

- Dérivées par la deuxième forme :

Ces dérivées mettront en œuvre les dérivées logarithmiques successives de la factorielle, qui ont été établies dans  « approche hyperfactorielles »      (chap. 1) :

 

[Ln (n!)](k) = +/- (k-1)! [z (k) - hk (n)]            (en remplaçant z par g pour k=1)

 

Pour les autres termes, on a  (avec toujours le signe + pour les k pairs) :

 

[n. Ln (n)]’ = Ln (n) + 1 ;  [ ]’’ = 1/n ;  [ ](3) = - 1/n2 ….......  [ ](k) = +/- (k-2)! /nk-1

 

n’ = 1  et 0 pour la suite

 

[Ln (n) /2]’ = 1/2n ;  [ ]’’ = - 1/2n2 ;  [ ](3) = 2! /2n3..............[ ](k)  = +/- (k-1)! / 2nk

 

- Identification des s’ :

                                                                                                                                                     

- ∑ bq / q.nq = - g + h1 (n) - Ln (n) - 1/2n          soit, pour n=1 :   ∑ bq / q = g - 1/2

     2                                                                                                                                              2

Formule qu’on peut rapprocher de celle de s(1) : ∑ bq / q.(q-1) = 1 - Ln (2p) /2

                                                                                                  2

La différence donnant une troisième formule : ∑ bq / (q-1) = g + 1/2 - Ln (2p) /2

                                                                2

Retombée sur les z négatifs. On a vu  (formule (3)) :   z (- q) = - bq+1 /q+1

                                                 

Ce qui peut s’exprimer :         z (-q) = 1/2 - g     (somme de tous les z négatifs)

                                     1

- Identification des s’’ :

                                                                                                                                                     

 bq / nq+1 = z (2) - h2 (n) - 1/n + 1/2n2       soit, pour n=1 :       ∑ bq = z (2) - 3/2                                                                                    2                                                                                                             2

( formule rencontrée dans « approche hyperfactorielles » chapitre 8)

 

- Identification des s(3) :

                     

                  - ∑ (q+1).bq / nq+2  =  - 2.z (3) + 2. h3 (n) + 1/2n2 - 1/n3

                                2                                                                                                                                      

Soit, pour n=1 : ∑ (q+1).bq = 2.z (3) - 2 , qui se décompose en ∑ q.bq et ∑ bq

                           2                                                                                                               2                     2

                La deuxième somme est connue.  

               

                                                                                                                         

            Il reste pour la première :                             ∑ q.bq = 2.z (3) - z (2) - 1/2

                                                                                  2

- La suite des identifications donnerait :

 

∑ (q+1).(q+2).bq = 6.z (4) - 5

    ………………………….

∑ (q+1).(q+2)..........(q+k-2).bq = [(k-1)! z (k)] - (k-2)! (k+1) /2

 

Ce qui permettrait de calculer de proche en proche ∑ q2.bq ,  ∑ q3.bq …..etc

Et qui donnerait aussi les expressions des z successifs sous la forme de séries  faisant apparaître les nombres de Bernoulli, soit :

 

            z (2) = 3/2 + b2 + b4 + b6 + …..

            z (3) = 4/4 + (1/2).(3.b2 + 5.b4 + 7.b6 + …..)

            z (4) = 5/6 + (1/3).(15.b2 + 28.b4 + 45.b6 + …)

                        ……………………………

            z (k) = [(k+1) / (2k-2)] + [1/ (k-1)].[C2p.b2 + C4p+2.b4 + C6p+4.b6 ....]

 

Expressions qui ne sont autres que celles découlant de la formule sommatoire d’Euler Mac Laurin. (voir « Approche Bernoulli » chap 10)

 

 

- Intégrale par la 1ère forme :

                                                                    

s(n).∂n = Ln (n) /12 - ∑ bq / q.(q-1).(q-2).nq-2

                                                          4

Soit, en intégrant de 1 à ∞ :                   

                                                                                

 s(n).∂n = Ln (n) /12 + ∑ bq / q.(q-1).(q-2)

            1                                                          4

En appliquant une identité connue, on peut l’écrire :

 

Ln (n) /12 + (1/2).∑ bq /q - ∑ bq /(q-1) + (1/2).∑ bq /(q-2)

 

Les deux premières sommes ont été calculées au paragraphe précédent, soit respectivement (après soustraction des termes en b2) :

g - 7/12         et           g + 1/3 - Ln (2p) /2

La troisième somme n’a pas pour l’instant d’expression analytique. Nommons-la provisoirement K2. Tous calculs effectués, on arrive pour l’intégrale à :

           

s(n).∂n = Ln (n) /12 + Ln (2p) /2 - g /2 - 5/8 + K2 /2

                 1

 

            - Intégrale par la 2ème forme :

            A partir de l’expression établie dans l’approche hyperfactorielles (chapitre 2) :

                        Ln (n!) = - g.n + z (2).n2 /2 - z (3).n3 /3 ……..+/- z (q).nq /q

 

D’où l’intégrale :

 

∫ Ln (n!). ∂n = - g.n2 /2 + z (2).n3 /6 - z (3).n4 /12 …. +/- z (q).nq+1 /q.(q+1)

 

Et pour les autres termes de s(n) :

 

∫ n.Ln (n).∂n = n2.Ln (n) /2 - n2 /4

 

∫ n.∂n = n2 /2

 

∫ [Ln (n) /2].∂n = n.Ln (n) /2 - n /2

 

Ce qui donne pour s(n) :

 

s(n).∂n = - g.n2 /2

                  + [z (2).n3 /6 - z (3).n4 /12 ….]

- (1/2).[n2.Ln (n) - 3.n2 /2 + n.Ln (n) - n] - [Ln (2p) /2].n

 

Cette fois, il est intéressant d’intégrer de 0 à 1, ce qui donne :

 

1

s(n).∂n = - g /2 + [z (2) /6 - z (3) /12 ….] + 5/4 - Ln (2p) /2

0

L’expression entre [ ] valant C2 - C3 , avec C2 = g  et C3 = 1 + g /2 - Ln (2p) /2 ,

On arrive, après de nombreuses simplifications, à :

            1

            s(n).∂n = 1/4

                 0

Il y a une complémentarité entre les deux formes d’intégration qui permettent, par addition de calculer l’intégrale de 0 à ∞.

En intégrant une deuxième fois, on ferait apparaître une nouvelle constante :               

            K3 = ∑ bq /(q-3)

                      4

En continuant, on peut conjecturer qu’on ferait apparaître :

                                                                                                                                  

K4 = ∑ bq /(q-4)    K5 = ∑ bq /(q-5)   K6 = ∑ bq /(q-6)    K7 =∑ bq /(q-7) …etc.

              6                                           6                                      8                                      8

On aurait de même, au départ :  K0 = ∑ bq /q     et   K1 = ∑ bq /(q-1)

                                                             2                                           2

            Ces deux premières constantes ont, comme on l’a vu plus haut, des valeurs analytiques connues. Il n’en est pas de même pour les autres, mais celles-ci mérite qu’on leur consacre un travail de recherche, car leur connaissance entraînera de facto celle des valeurs impaires de la fonction Zêta (voir « Approche Bernoulli »)

 

Combinaisons linéaires des fonctions hn+ (x) :

 

L’expression générale de ces combinaisons est :

 

E = a0. h0+ (x) + a1. h1+ (x) + a2. h2+ (x) …… an. hn+ (x)

 

Qu’on peut mettre sous forme de tableau, en écrivant les fonctions hn+ sous leur forme polynômiale introduisant les nombres de Bernoulli :

 

   a0. [b0. x]

+ a1. [(b0/2). x2 + b1. x]

+ a2. [(b0/3). x3 + b1. x2 + b2. x]

+ a3. [(b0/4). x4 + b1. x3 + 1,5. b2. x2]

+ a4. [(b0/5). x5+  b1. x4 +    2. b2. x3 + 0 + b4. x]

 ………………………………………………

En regroupant par puissances croissantes de x, on obtient :

 

          x. [a0.b0 +    a1.b1 +      a2.b2 +       a4.b4 ….]

+ (x2/2). [a1.b0 + 2.a2.b1 +   3.a3.b2 +    5.a5.b4 +   7.a7.b6 ....]

+ (x3/3). [a2.b0 + 3.a3.b1 +   6.a4.b2 +  15.a6.b4 + 28.a8.b6 ....]

+ (x4/4). [a3.b0 + 4.a4.b1 + 10.a5.b2 +  35.a7.b4 +  84.a9.b6 ...]

  .......................................................................................

On peut noter qu’on trouve sur chaque ligne les coefficients binomiaux de la colonne correspondante de la table de ces derniers, avec des « trous » correspondant aux nombres de Bernoulli impairs qui sont nuls, à l’exception de b1.

 

Diverses formules de récurrence relatives aux nombres de Bernoulli :

 

On a vu apparaître dans le document principal un certain nombre de formules donnant des expressions de z (n). On peut montrer que ces formules permettent d’établir des relations de récurrence donnant un nombre de Bernoulli quelconque en fonction des nombres précédents. Ces formules s’ajoutent à la formule classique découlant de la définition même des nombres de Bernoulli donnée par Guinot et rappelée ci-dessous (avec les modifications de signes permettant de passer de b1 = -1/2  à  b1 = 1/2) :

 

C1n+1 . bn + C3n+1 . bn-2 + C5n+1 . bn-4 …. + C2n+1 . b2 = (n - 1) /2        

 

D’où on peut extraire bn :

 

bn = (n-1) / 2.(n+1) - n.(n-1).bn-2 /3!.... - n…(n-q+1).bn-q /(q+1)!... - n.b2 /2    (5)

 

- Relation découlant de la formule (2) du document principal, soit :

 

z (n) = 1/(n-1) + n.z (n+1) /2! - n.(n+1).z (n+2) /3! + n.(n+1)(n+2).z (n+3) /4! ...

 

            Passons aux valeurs négatives (tous les termes deviennent négatifs) :

 

z (-n) = - 1/(n+1) - n.z (-n+1) /2! - n.(n-1).z (-n+2) /3! ....

                                                           - n.(n-1)...(n-q+2).z (-n+q-1) /q! …

 

            Considérons le terme tel que : q = n+2, soit :  n.(n-1)…(0).z (1) /(n+2)!

 

            Ce terme comporte une indétermination qu’on peut lever en remplaçant n par n+e, comme on l’a déjà fait. Il devient alors : n!/(n+2)! = 1/(n+1).(n+2)

            En fait, il sera le dernier à considérer, car les suivants comportent des 0 qui ne sont pas compensés par une valeur infinie de z. La série représentative de z (-n) est donc limitée, comme on l’a vu dans l’étude de la formule (2).

 

Remplaçons les z par leurs équivalents Bernoulli par : z (-n) = - bn+1 /(n+1) :

 

- bn+1 /(n+1) = - 1/(n+1) + (n/2!).(bn/n) + [n.(n-1)/3!].[bn-1/(n-1)] …

                                                              + [n.(n-1)…(n-q+2)/q!].[bn-q+2/(n-q+2)] ...

 

En changeant de signe et en effectuant les simplifications par (n-q+2), on a :

 

bn+1/(n+1) = 1/(n+1) - bn /2! - n.bn-1 /3! … - n.(n-1)…(n-q+3).bn-q+2 /q! …

 

Effectuons la transposition : n+1 → n. On obtient :

 

bn/n = 1/n - bn-1/2! - (n-1).bn-2 /3! …. - (n-1).(n-2)…(n-q+2).bn-q+1 /q! …, soit :

 

bn = 1 - n.bn-1 /2! - n.(n-1).bn-2 /3!… - n.(n-1)….(n-q+2).bn-q+1 /q! … - b0 /(n+1)

       (6)

 

(Suite à la transposition, le dernier terme n’intervient plus pour q = n+2, mais pour q = n+1)

            Cette formule s’applique à tous les b à partir de b0. Pour les n impairs, on tombe systématiquement, comme il fallait s’y attendre, sur la valeur 0, à l’exception de b1 = 1/2.

 

            - Relation découlant de la formule (36) du document principal, soit :

 

z (n) = 1/ (n-1) + 1/2 + n.b2 /2! + n.(n+1).(n+2).b4 /4! …. + n…..(n+q-2).bq /q!  

 

Passage aux valeurs négatives :

 

z (-n) = - 1/(n+1) + 1/2 - n.b2 /2! - n.(n-1).(n-2).b4 /4! … - n… (n-q+2).bq /q! … 

 

- Cas où n = 0. On retrouve bien :  z (0) = - 1/2       

- Cas des n pairs : l’expression est toujours nulle. Le dernier terme apparaît pour q = n. Sa valeur n’est autre que bn. L’expression devient (en regroupant les deux premiers termes) :

 

0 = (n-1) / 2.(n+1) - n.b2 /2! … -  n…(n-q+2).bq /q! … - bn  , soit :

 

bn = (n-1) / 2.(n+1) - n.b2 /2! - n.(n-1).(n-2).b4 /4! … - n…(n-q+2).bq /q! …(7)

 

            Pour chaque n, la série doit prendre en compte les b d’indice inférieur à n. Pour b2, on n’aura donc que le premier terme, pour b4, les deux premiers…etc

On peut vérifier qu’on retrouve bien ainsi les valeurs connues.

 

            - Cas où n = 1 :On retrouve bien z (-1) = - 1/12

- Cas des n impairs : Le dernier terme apparaît pour q = n+1. Sa valeur est :  bq.n!/(n+1)! = bn+1 /(n+1). L’expression devient :

 

z (-n) = (n-1) / 2.(n+1) - n.b2 /2! - n…(n-q+2).bq /q! … - bn+1 /(n+1)

 

On peut remarquer que l’ensemble de l’expression est égal à son dernier terme, ce qui signifie que tout le reste est nul, soit :

 

0 = (n-1) / 2.(n+1) - n.b2 /2! … - n…(n-q+2).bq /q! …- n.(n-1)…3.bn-1 /(n-1)!        

 

Le dernier terme se réduit à : n.bn-1 /2, ce qui donne :

                                       

n.bn-1 /2 = (n-1) / 2.(n+1) - n.b2 /2! - n. (n-1).(n-2).b4 /4! 

 

Après transposition  n-1 → n , on arrive à :

 

(n+1).bn /2 = n / 2.(n+2) - (n+1).b2 /2! - (n+1).n.(n-1).b4 /4! …., soit :

 

bn = n /(n+1).(n+2) - 1/6 - 2.n.(n-1).b4 /4! - 2.n.(n-1)…(n-q+3).bq /q! …. (8)

 

Il est intéressant d’écrire l’égalité des expressions (7) et (8). On obtient ainsi une équation d’où on peut extraire bn-2, puis bn par transposition. Tous calculs faits, on arrive à l’expression :

 

bn = 12.[(2/3)/(n+2).(n+4) - (1/(n+1)).b2 /2! - (n-2).b4 /4! …

 - (n+2-q).n.(n-1)… (n-q+5).bq /q!      (9)

 

Relation découlant de la formule (6) de l’annexe 4 (hyperfactorielles deuxième niveau) :

 

Cette formule peut s’écrire :

 

z (n) = [n /(n-1)].[z (n+1) /2 + (n+1).z (n+2).b2 /2! …

+ (n+1).(n+2).(n+3).z (n+4).b4 /4!….]

 

Passage aux valeurs négatives :

 

z (-n) = [n/(n+1)].[z (- n+1) /2 - (n-1).z (- n+2).b2 /2!

           - (n-1).(n-2).(n-3).z (-n+4).b4 /4! …- (n-1)…(n-q+1).z (-n+q).bq/q!…..]

 

- Cas où n = 0 : La série se limite à son premier terme.

En faisant n = e, on a :

z (0) = e.z (1-e) /2 = -1/2

 

- Cas des n pairs :

On peut vérifier que la série se limite à son premier et son dernier terme qui valent respectivement bn /2.n  et - bn /2.n Sa valeur est donc bien systématiquement nulle, comme prévisible.

 

- Cas où n = 1 : La série se limite à ses deux premiers termes.

En faisant n = 1+e, on a :

                                   z (-1) = (1/2).[z (-e) /2 - e.z (1-e)b2 /2] = - 1/12

 

- Cas des n impairs :

Le premier terme est systématiquement nul à partir de n = 3.

La série est limitée et s’arrête à q = n+1. Son dernier terme est alors :

 

(n-1).(n-2)….e.z (1-e).bn+1 /(n+1)! = - bn+1 / n.(n+1)

 

L’expression devient alors :

 

z (-n) = - [n/(n+1)].[(n-1).z (-n+2).b2 /2! … + (n-1)….(n-q+1).z (n-q).bq /q! ……………- bn+1 /n.(n+1)]   

 

            Passage des z aux nombres de Bernoulli (avec rectification des signes) :

 

bn+1 /(n+1) = [n/(n+1)].[- (n-1).(bn-1 /(n-1)).b2 /2!...

                             - (n-1)…..(n-q+1).(bn-q+1 /(n-q+1)).bq /q! … - bn+1 /n.(n+1)]

 

            Les simplifications et le regroupement des termes en bn+1 donnent :

 

bn+1.[(n+2)/n.(n+1)] = - [bn-1.b2 /2! …. + (n-1)….(n-q+2).bn-q+1.bq /q! .....]

 

            Ce qui donne (en introduisant le nouveau dernier terme qui était précédemment l’avant-dernier) :

 

bn+1 = - [n.(n+1)/(n+2)].[bn-1.b2 /2!... + (n-1)…(n-q+2).bn-q+1.bq /q!...............                                                                      

                                                                                               + (b2 /2).bn-1]

La transposition n+1 → n donne :

 

bn = - [n.(n-1)/(n+1)].[bn-2.b2 /2!… + (n-2)…(n-q+1).bn-q.bq /q! … + (b2 /2).bn-2]

 

            On peut noter l’identité du premier et du dernier terme. On peut aller plus loin en montrant que le terme courant est symétrique en q et n-q. Il y a donc une symétrie générale de tous les termes par rapport au milieu de la série. On peut donc arrêter la série à son milieu en doublant tous les termes, ce qui conduit à considérer deux cas :

            - n est multiple de 4 ; il existe alors un terme central qui, contrairement aux autres, n’a pas à être doublé. Ce terme central apparaît pour q = n/2 (valeur moyenne entre 2 et n-2), et vaut :

 

                        (n-2)! (bn/2 /(n/2)!)2       Il devient le dernier terme de la série.

 

            La formule résultante est :

 

bn = - [n.(n-1)/(n+1)].[b2.bn-2 + 2.(n-2).(n-3).b4.bn-4 /4! ….

+ 2.(n-2)…(n-q+1).bq.bn-q /q! ….+ (n-2)! (bn/2 /(n/2)!)2 ]       (10)

 

- n n’est pas multiple de 4 : Il n’y a pas de terme central. Tous les termes doivent donc être doublés, le dernier à considérer apparaissant cette fois pour

q = (n/2) - 1 , ce qui conduit à la formule résultante :

 

bn = - [n.(n-1)/(n+1)].[b2.bn-2 + 2.(n-2).(n-3).b4.bn-4 /4! …

                                   + 2.(n-2)…(n-q+1).bq.bn-q /q! …

            + 2.(n-2)! (bn/2+1 /(n/2+1)!).(bn/2-1 /(n/2-1)!)]                (11)

 

            Ces formules comportent des séries dont le nombre de termes est réduit, mais qui font néanmoins apparaître tous les nombres de Bernoulli entre 2 et n-2 car chaque terme résulte du produit de deux nombres symétriques bq et bn-q.

En les utilisant en alternance, on peut calculer de proche en proche tous les nombres de Bernoulli. En prenant le calcul en marche, la formule (11) donne par exemple pour b10 :

 

b10 = - (90/11).[b2.b8 + 2.8!(b6 /6!).(b4 /4!)] = (90/11).[1/180 + 1/270] = 5/66

 

            La formule (10) donne ensuite pour b12 :

 

b12 = - (132/13).[b2.b10 + 2.10.9.b4.b8 /4! + 10!(b6 /6!)2]

       = - (132/13).[5/396 + 1/120 + 1/63] = - 691/2730

 

Relation découlant de la formule (8) de l’annexe 4 (hyperfactorielles troisième niveau) :

 

Cette formule peut s’écrire :

 

z (n) = [2/(n-1)].[(n+1).(n+2).z (n+2).b2 /2! + (n+1)….(n+4).z (n+4).b4 /4! …]

 

Passage aux valeurs négatives :

 

z -n) = - [2/(n+1)].[(n-1).(n-2).z (-n+2).b2 /2! + (n-1)…(n-4).z (-n+4).b4 /4! …

                               + (n-1)….(n-q).z (-n+q).bq /q! …]

 

- Cas où n = 0 : contrairement au niveau 2, la série n’est plus limitée, mais se présente sous la forme :

                   

z (-n) = - 2. ∑ bq.z (q)

                    2

L’expression    a été calculée à l’annexe 4 (approche TS niveau 3). On sait qu’elle est égale à 1/4, ce qui donne bien z (0) = - 1/2

 

- Cas des n pairs :

Comme prévisible, le résultat est toujours nul, car tous les termes sont nuls.

 

            - Cas où n = 1 : La série se limite à son premier terme, soit :

 

            z (-1) = - [- e.z (1-e).b2 /2!] = - 1/12

 

            - Cas des n impairs :

Le dernier terme de la série apparaît pour q = n+1. Il se présente alors comme pour le niveau précédent (en remplaçant n par n+e) :

 

                        (n-1)….(1).(e).(-1).z (1-e).bn+1 /(n+1)! = - bn+1 /n.(n+1)

 

            Passage des z aux nombres de Bernoulli :

 

bn+1 /(n+1) = - [2/(n+1)].[(n-1).(n-2).(bn-1 /(n-1)).b2 /2! ….

                                   + (n-1)….(n-q).(bn-q+1 /(n-q+1)).bq /q! … - bn+1 /n.(n+1)

 

            Les simplifications et le regroupement des termes en bn+1 donnent :

 

bn+1.[1 - 2/n.(n+1)] = - 2.[(n-1).(n-2).(bn-1 /(n-1)).b2 /2!

                                         + (n-1)….(n-q).(bn-q+1 /(n-q+1)).bq /q! ….]

 

            Soit, avec introduction du nouveau dernier terme :

 

bn+1 = - [2.n.(n+1) / (n2+n-2)].[(n-1).(n-2).(bn-1 /(n-1))b2 /2! …

                                   + (n-1)…(n-q).(bn-q+1 /(n-q+1)).bq /q! …+ (b2 /2).bn-1]

 

La transposition n+1 → n  donne (en introduisant la simplification par n-q+1) :

 

bn = - [2.n.(n-1) / (n2-n-2)].[(n-3).bn-2.b2 /2! …

        + (n-2)…(n-q+1).(n-q-1).bn-q.bq /q! … + b2.bn-2 /2!]

 

Considérons le terme courant. En remplaçant q par n-q, il devient :

 

  (n-2)….(q +1).(q-1).bq.bn-q /(n-q!)

 

Comparons avec le terme courant du niveau précédent, dont on sait qu’il ne change pas quand on fait la même transposition. On sait qu’il valait :

 

            Tc = (n-2)….(n-q+1).bq.bn-q /q! = (n-2)….(q+1).bq.bn-q /(n-q)!

 

On voit que le terme courant de la formule de bn ci-dessus est égal à : Tc.(n-q-1) et que son transposé est égal à Tc.(q-1). La somme des deux est donc égale à :

Tc.(n-2) = (n-2)2.(n-3)….(n-q+1).(n-q-1).bq.bn-q /q!

 

Expression qui est donc le nouveau terme courant obtenu en regroupant deux par deux, comme pour le niveau précédent, les termes symétriques par rapport au milieu de la série. On peut à nouveau faire apparaître les deux cas :

- n est multiple de 4 : présence d’un terme central qui vaut :

 

((n/2)-1).(n-2)!(bn/2 /(n/2)!)2  , et qui devient le dernier terme de la série.

 

L’expression correspondante de bn est alors :

 

bn = - [2.n.(n-1) / (n2-n-2)].[(n-2).bn-2.b2 /2! + (n-2)2.(n-3).b4.bn-4 /4! …

         + (n-2)2.(n-3)…(n-q+1).bq.bn-q /q! …

         + ((n/2) - 1).(n-2)!(bn/2 /(n/2)!)2                          (12)

 

- n n’est pas multiple de 4. Il n’y a pas de terme central. Le dernier terme apparaît toujours pour q = (n/2) -1 . La formule résultante est :

 

bn = - [2.n.(n-1) / (n2-n-2)].[(n-2).bn-2.b2 /2! + (n-2)2.(n-3).b4.bn-4 /4! …

         + (n-2)2.(n-3)…(n-q+1).bq.bn-q /q! …

 + (n-2).(n-2)! (bn/2+1 /(n/2+1)!).(bn/2-1 /(n/2-1)!)]    (13)

 

On peut faire les mêmes remarques sur les formules (12) et (13) que sur les deux précédentes, ainsi que la même validation numérique, en calculant b10 par (13) et b12 par (12) :

 

b10 = - (180/88).[4.b2.b8 + 8.8! (b6 /6!).(b4 /4!)] = - (45/22).[-1/45-2/135)] = 5/66

 

b12 = - (264/130).[5.b2.b10 + 900.b4.b8 /4! + 5.10! (b6 /6!)2]

       = - (132/65).[25/396 + 1/24 + 5/252] = - 691/2730

 

En faisant appel aux niveaux supérieurs, on pourrait vraisemblablement faire apparaître de nouvelles expressions de bn.

 

Relation découlant de la formule (9) de l’annexe 4 :

 

z (n) = [2.n /(n-1)]. [(n+3).b2.z (n+1) /2! + (n+1).(n+2).(n+7).b4.z (n+3) /4! ....

                                   + (n+1).(n+2)….(n+q-2).(n+2q-1).z (n+q-1).bq /q! …..]                        

 

            Passage aux valeurs négatives :

 

z (-n) = - [2.n /(n+1)].[(n-3).b2.z (-n+1) /2! ….

+ (n-1).(n-2)….(n-q+2).(n-2q+1).z (-n+q-1).bq /q! ….]

 

Cas où n = 0 : En remplaçant 0 par e, la série est limitée à son premier terme, ce qui donne :

 

z (0) = - 2.e.[-3.z (1-e).b2 /2!] = - 1/2

 

Cas des n pairs : En faisant n = n+e, la série s’arrête à q = n+2. Le dernier terme vaut alors : (n-1)! (n+3).bn+2 /(n+2)!

En calculant la série pour chaque n, on constate qu’elle est systématiquement nulle.

 

Cas où n = 1 : seul, le premier terme de la série n’est pas nul. On obtient :

 

z (-1) = - [- 2.b2.z (0) /2!] = - 1/12

 

Cas des n impairs : la série s’arrête pour q = n+1. Le dernier terme vaut alors : bn+1 /2n . Tous les autres termes sont nuls. Si on remplace z (-n) par          - bn+1 /(n+1), on débouche sur l’identité bn+1 = bn+1.

On ne peut donc en déduire aucune expression de bn.

 

Formules découlant de l’annexe 1 (Relations concernant les nombres de Bernoulli) :

 

Après calculs permettant d’extraire bn, on obtient :

                       

bn = n / 2n.(n+1) - n.(n-1).bn-2 / 22.3! … - n.(n-1)…(n-q+1).bn-q / 2q.(q+1)! ...

                                                                                              - n.b2 / 2n-1                 (14)      

 

bn = [(n-1) / 2.(2n-1)].[1 - 2n-2.n.bn-2 /2! ... - 2n-q.n.(n-2)….(n-q+1).bn-q / q!…

                                                                                              - 2.n.b2                 (15)

 

bn = [1 / 2.(2n-1)].[1 - 2n-2.(n-1).(n-2).bn-2 /2! … - 2n-q.(n-1)…(n-q).bn-q / q!...

                                                                                              - 22.(n-1).b2              (16)

 

            On pourrait multiplier les formules donnant bn, notamment en écrivant les identités de ces formules deux à deux et en faisant ensuite les transpositions n-2 → n

            Notons pour l’instant qu’on peut les regrouper en deux grandes familles :

            - Formules où chaque terme fait apparaître un nombre de Bernoulli de  bn-2 à b2 (cas le plus général).

            - Formules où chaque terme fait apparaître le produit de deux nombres de Bernoulli soit bq.bn-q (formules 10 à 13)

 

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ANNEXE 3 : DIVERSES  SOMMATIONS

 

PARTANT  DES  FONCTIONS  h

 

                                                             x

Cas le plus simple : S = ∑ hn (x)

                                                             1

Cette somme peut se représenter sous la forme d’une matrice de x lignes et x colonnes :

            1

            1 + 1/2n

            1 + 1/2n + 1/3n

            …………………….

            1 + 1/2n + 1/3n …….. + 1/xn

 

                Qui peut elle-même se mettre sous la forme d’une différence entre la  matrice carrée complète et la matrice complémentaire triangulaire, soit :

 

x.hn (x) - [1/2n + 2/3n + 3/4n …… + (x-1)/xn]

 

En utilisant l’identité :  (x-1)/xn = 1/xn-1 - 1/xn      , on arrive à :

 

x.hn (x) - [1/2n-1 + 1/3n-1 … + 1/xn-1] + [1/2n + 1/3n … + 1/xn]

 

Les deux expressions entre [ ] valant respectivement hn-1 (x) - 1 et hn (x) – 1 , 

On arrive finalement à :

            x

            hn (x) = (x+1).hn (x) - hn-1 (x)                                     (1)

            1

                Le cas particulier de n = 1 donne (avec h0 (x) = x ) :

             x

            ∑ h1 (x) = (x+1).h1 (x)  -  x                                             (2)

 1         

                                             x

Cas le plus général :  S =  ∑ xp.hn (x) 

                                                         1

            On a cette fois une matrice de x lignes et xp colonnes :

hn (1)                                                                                                            1 terme

hn (2) …..hn (2)                                                                                          2p termes

hn (3) ………………..hn (3)                                                                      3p termes

..............................................                                                               ..............

hn (x-1) .....................................................hn (x-1)                              (x-1)p termes

hn (x) ……………………………………………………..hn (x)              xp termes

 

            Il est intéressant de faire apparaître la différence entre les nombres de termes de deux lignes consécutives, que nous nommerons P(x) (x étant le rang de la ligne supérieure), soit :

                                                            1                    2                    3

            P(x) = xp - (x-1)p = xp - [xp - C . xp-1 + C . xp-2 - C . xp-3 …. +/- 1]

                                                p                    p                    p

                  1                     2                     3

    ou :  P(x) = C . xp-1 - C . xp-2 + C . xp-3 ……… -/+ 1        

            p                     p                     p

Avec, pour les premières valeurs de p :

p = 1  → P(x) = 1

p = 2  → P(x) = 2.x - 1

p = 3  → P(x) = 3.x2 - 3.x +1

 

Ce qui donne pour l’expression recherchée :

             x                      x                  x-1

S = xp. ∑ hn (x) - ∑ [P(x). hn (x)]

             1                      2                   1

En transposant la limite supérieure de x-1 à x, et en appliquant la formule (1), l’expression F entre [ ] devient :

                 

F = P(x). [x. hn (x) - hn-1 (x)]

                             

Si on remarque que cette expression est nulle pour x = 1, on peut remplacer sa sommation de 2 à x par une sommation de 1 à x.

Il est maintenant intéressant d’exprimer P(x) en mettant à part son premier terme, soit p.xp-1 et en nommant le reste Q(x), ce qui donne pour F :

 

F = [p.xp-1 - Q(x)] . [x. hn (x) - hn-1 (x)]

   = p.xp. hn (x) - p.xp-1. hn-1 (x) - Q(x). x. hn (x) + Q(x). hn-1 (x)

Revenons à l’expression S en appliquant la formule (1) à son premier terme, et en remplaçant le deuxième terme par ∑ F(x) :

                                                           x                                     x

S = xp. (x+1). hn (x) - xp. hn-1 (x) - p. ∑ xp. hn (x) + p. ∑ xp-1. hn-1 (x)

                x                                           x                  1                                      1

            + ∑ Q(x). x. hn (x) - ∑ Q(x). hn-1 (x)

                1                                           1

Si on remarque que le troisième terme n’est autre que le produit p.S , on obtient :

                                                                             x

S = [1/(p+1)] . [xp. (x+1). hn (x) - xp. hn-1 (x) + ∑ xp-1. hn-1 (x)

                            x                                          x                            1

                        + ∑ Q(x). x. hn (x) - ∑ Q(x). hn-1 (x)]                                (3)

                                        1          2                    3        1

Avec   Q(x) = C . xp-2 - C . xp-3 …….+/-1

                        p                     p

 

Cette formule est utilisée dans le document « Approche hyperfactorielles » (Chapitre 7), avec notamment :

Pour les hyperfactorielles de niveau 3 : p = 0

            ……………………….         :  p = 1

            ……………………….         :  p = 2

Ce qui permet d’aller jusqu’au calcul de z (5)

 

Remarque : Pour certaines valeurs de n et de p, il peut arriver qu’on soit amené à calculer certaines sommes de hq (x) avec q ˂ 0. Il suffit alors de remplacer hq (x) par hr+ (x) avec r = -q. Ces sommes sont connues (Voir annexe 2). Ce processus sera plus clair en l’illustrant par des exemples :

 

- n = 1 ;  p = 1  (cas rencontré dans les hyperfactorielles de niveau 4)

La formule (3) devient (avec Q(x) = 0) :

 

S = (1/2). [(x2 + x). h1 (x) + h0 (x) - h1+ (x)]

 

Soit, avec h0 (x) = x          et  h1+ (x) = x2/2 + x/2 :

 

S = (1/2). [(x2 + x). h1 (x) - x2/2 + x/2]

 

- n = 1 ;  p = 2  (hyperfactorielles de niveau 5)

La formule (3) devient (avec Q(x) = 1) :

 

S = (1/3). [(x3 + (3/2).x2 + x/2). h1 (x) - (1/2).h0 (x) + (3/2).h1+ (x) - h2+(x)]

 

Soit, avec h2+ (x) = x3/3 + x2/2 + x/6 :

 

S = (1/3). [(x3 + (3/2).x2 + x/2). h1 (x) - x3/3 + x2/4 + x/12]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      ANNEXE 4 : COMPLEMENTS  SUR  LES  HYPERFACTORIELLES

 

 

Dans l’approche hyperfactorielles, on a vu qu’il était possible d’exprimer les hyperfactorielles de deux manières : à partir des constantes C (chapitre 5), et à partir de la formule de Stirling (chapitre 6).

Dans cette annexe, nous allons les exprimer sous la forme de développements tayloriens, avec deux approches :

- Une approche que nous nommerons « TA », dans laquelle les coefficients des développements sont des expressions analytiques.

- Une approche que nous nommerons « TS », dans laquelle ces coefficients sont des séries infinies (alternées et divergentes, comme il se doit).

L’identification des coefficients permettra d’établir quelques formules intéressantes.

 

 

APPROCHE  TA :

 

 

- Niveau 1 :

 

Le développement de Ln (x!) a été établi dans « Approche hyperfactorielles » (chapitre 2), à savoir :

Ln (x!) = -g. x + (z (2)/2). x2 - (z (3)/3). x3 + (z (4)/4). x4 …..       (1)

 

 

- Niveau 2 :

 

On peut écrire :   Ln (x!!) = Ln (0!!) + Ln (1!) + Ln (2!) …. + Ln (x!)

 

On sait que Ln (0!) = 0 , mais on conserve quand même ce terme, en vue du passage aux dérivées, qui donne :

 

[Ln (x!!)]’ = [Ln (x!!)]’(0) + [Ln (x!)]’(1) + [Ln (x!)]’(2) ..... + [Ln (x!)]’(x)

 

On a établi (Approche hyperfactorielles chapitre 1) :  [Ln(x!)]’(x) = -g + h1 (x)

Ce qui nous conduit à :

 

[Ln (x!!)]’ = [Ln (x!!)]’(0) + [h1 (1) - g] + [h1 (2) - g] …… + [h1 (x) - g]

                                                                    x

                              = [Ln (x!!)]’(0) - g. x + ∑ h1 (x)

                                                                    1

            Remplaçons l’expression ∑  par sa valeur calculée à l’annexe 3 :

 

[Ln (x!!)]’ = [Ln (x!!)]’(0) - g. x + (x+1). h1 (x) - x

 

Remplaçons h1 (x) par son développement (approche hyperfactorielles chap 2) :

 

[Ln (x!!)]’ = [Ln (x!!)]’(0) - (g+1). x + [z (2). x2 - z (3). x3 + z (4). x4 ….]

                                                                        + [z (2). x - z (3). x2 + z (4). x4 …..]       

Soit, en intégrant :

           

Ln (x!!) = [[Ln (x!!)]’(0)]. x + z (2) - g - 1)]. x2/2 + [z (2) - z (3)]. x3/3

                               - [z (3) - z (4)]. x4/4

                                                                               + [z (4) - z (5)]. x5/5

                                                                                   ……………………

Il reste à expliciter le premier terme, ce qu’on peut faire en faisant x = 1 :

 

0 = [[Ln (x!!)]’(0)] - (g + 1)/2 + [z (2)/2 - z (3)/3 + z (4)/4 ……]

                                                + [z (2)/3 - z (3)/4 + z (4)/5 ……]

 

Les deux séries en z ont été établies dans l’approche hyperfactorielles, à savoir :

g (chapitre 6)  et  1 + g /2 - Ln (2p) /2 (chapitre 7)

En introduisant ces valeurs, on arrive, après calcul, à l’expression du terme recherché :

            [Ln (x!!)]’(0) = Ln (2p) /2 - g - 1/2

 

Ce qui conduit au développement complet de Ln (x!!) :

 

Ln (x!!) = [Ln (2p) /2 - g - 1/2]. x + [z (2) - g - 1]. x2/2 + [z (2) - z (3)]. x3/3   (2)

       - [z (3) - z (4)]. x4/4

                                                              ...............................

                                                              +/- [z (n-1) - z (n)]. xn/n

 

 - 0,158277. x + 0,033859.x2 + 0,147626. x3 - 0,029934. x4 + 0,009079. x5 ……

 

Notons que l’expression est alternée pour les x positifs, et convergente pour x ˂ 2 . En effet, l’expression z (n-1) - z (n) tend vers 1/2n quand n → ∞

Pour les x négatifs, tous les termes sont négatifs à l’exception du second. La série tend vers - ∞ quand x tend vers -2 (ce qui signifie que x!! tend vers 0).

 

 

- Niveau 3 :

 

L’approche est identique à la précédente, mais en partant de :

 

Ln (x!!!) = Ln (0!!!) + Ln (1!!) + Ln (2!!) …… + Ln (x!!)

 

Soit, en dérivant :

 

 [Ln (x!!!)]’ = [Ln (x!!!)]’(0) + [Ln (x!!)]’(1) + [Ln (x!!)]’(2) ….+ [Ln (x!!)]’(x)

 

            La dérivation de la formule (2) donne :

 

[Ln (x!!)]’ = [Ln (2p) /2 -g - 1/2] - (g + 1). x + [z (2). x - z (3). x2 + z (4). x3 …]

 + [z(2). x2 - z (3). x3 + z (4). x4 …]

 

Les deux séries en z valant respectivement h1 (x) et x. h1 (x) (approche hyperfactorielles chapitre 2), on arrive pour l’expression générale à :

 

[Ln (x!!!)]’ = [Ln (x!!!)]’(0) + [Ln (2p) /2 - g - 1/2]. x - (g + 1). (x2/2 + x/2)

                        x                      x

                   + ∑ h1 (x) + ∑ x. h1 (x)

                        1                       1

Les deux expressions en ∑ ont été calculées à l’annexe 3. Si on en fait la somme, on arrive à :

            (x2/2). h1 (x) + (3x/2). h1 (x) + h1 (x) - x2/4 - 3x/4

 

L’expression générale devient (en remplaçant h1 par son développement) :

 

[Ln (x!!!)]’ = [Ln (x!!!)]’(0) + [Ln (2p) /2 - (3g /2 - 7/4]. x - (g /2 + 3/4). x2

 

                                                 +    [(z (2)/2). x3  -    (z (3)/2). x4 +   (z (3)/2). x5 ….]

                + [(3.z (2)/2). x2 -  (3.z (3)/2). x3 + (3.z (4)/2). x4 - (3.z (5)/2). x5 ….]

+ [z (2). x  -         z (3). x2 +           z (4). x3  -          z (5). x4 +         z (6). x5 …]

 

Il faut donc ajouter z (2) au coefficient de x, et 3.z (2)/2 - z (3) à celui de x2.

A partir de x3, tous les termes sont de la même forme, à savoir :

 

[z (n-1)/2 - 3.z (n)/2 + z (n+1)]. xn 

 

L’intégration donne :

 

Ln (x!!!) = [[Ln (x!!!)]’(0)]. x + [z (2) + Ln (2p) /2 - (3g /2 - 7/4]. x2/2

                                                                                                     

   + [3.z (2)/2 - z (3) - g /2 - 3/4]. x3/3 +/- ∑ [z (n-2)/2 – 3.z (n-1)/2 + z (n)]. xn/n

                                                                   4

 Comme précédemment, il reste à calculer le coefficient de x en faisant x = 1, soit, après simplifications :

 

0 = [Ln (x!!!)]’(0) + [Ln (2p) /4 - 11.g /12 - 9/8] + [z (2)/2 - z (3)/3 + z (4)/4….]

                                                                     + (3/2). [z (2)/3 - z (3)/4 + z (5)/5….]

                                                                     + (1/2). [z (2)/4 - z (3)/5 + z (5)/6….]

 

Les trois dernières expressions entre [ ] valent respectivement :

g   ;    C3 = 1 + g /2 - Ln (2p) /2   ;     C4 (toujours inconnu pour l’instant)

Ce qui donne  :  [Ln (x!!!)]’(0) = Ln (2p) /2 - 5g /6 - 3/8 - C4 /2

 

D’où le développement complet de Ln (x!!!) :

 

Ln (x!!!) = [Ln (2p) /2 - 5g /6 - 3/8 - C4/2]. x                                               (3)

               + [z (2) + Ln (2p) /2 - 3g /2 - 7/4]. x2/2

                -      [z (3) - 3z (2)/2 + g /2 + 3/4]. x3/3

                +          [z (2)/2 - 3.z (3)/2 + z(4)]. x4/4

                -          [z (3)/2 - 3.z (4)/2 + z (5)]. x5/5

 .....................................................

               +/- [z (n-2)/2 - 3.z (n-1)/2 + z (n)]. xn/n

 

 ≈ - 0,072575. x - 0,025976. x2 + 0,075579. x3 + 0,025426. x4 - 0,002894. x5 ….

 

Comme pour le niveau 2, on peut remarquer que l’expression est alternée pour les x positifs, mais que la convergence s’étend cette fois jusqu’à x ˂ 3 . En effet, l’expression [z (n-2)/2 - 3.z (n-1)/2 + z (n)] tend vers 1/3n quand n → ∞ .

            Pour les x négatifs, tous les termes à partir du quatrième sont positifs. La série tend donc vers + ∞ quand x tend vers - 3

 

 

- Niveau 4 :

 

Le raisonnement est similaire à celui des niveaux précédents. Il ne sera donc pas reproduit ici dans tous ses détails. Notons qu’il fait appel à l’expression ∑ x2.h1 (x) qu’on trouve également dans l’annexe 3. La formule finale à laquelle on aboutit est :

 

Ln (x!!!!) = [(11/24). Ln (2p) - 17g /24 - 17/72 - (3/4).C4 - C5/6]. x          (4)

                + [z (2) + (3/4).Ln (2p) – 5g /3 – 143/72 - C4/2]. x2/2

                  + [(11/6). z (2) - z (3) + Ln (2p) /4 - g - 19/12]. x3/3

                       + [z (2) – (11/6). z (3) + z (4) - g/6 – 11/36]. x4/4

 

                                           + [z (2)/6 - z (3) + (11/6). z (4) - z (5)]. x5/5

                                           - [z (3)/6 - z (4) + (11/6). z (5) - z (6)]. x6/6

                                   ………………………………………….

       +/- [z (n-3)/6 - z (n-2) + (11/6). z (n-1) - z n)]. xn/n

 

≈ - 0,041448. x - 0,030142. x2 + 0,037525. x3 + 0,030432. x4 + 0,003886. x5 ...

 

            La formule est convergente jusqu’à x ˂ 4

            Pour les x négatifs, tous les termes à partir du cinquième sont négatifs. La série tend vers – ∞ quand x tend vers - 4

 

 

            - Niveau 5 :

 

            On rencontre cette fois l’expression ∑ x3.h1 (x). Pour la formule finale, on peut signaler que les coefficients à partir du sixième sont de la forme :

 

             z (n-4)/24 - (5/12). z (n-3) + (35/24). z (n-2) - (25/12). z (n-1) + z (n)

 

 

- Quelques conjectures :

 

- Si on nomme x!m l’hyperfactorielle de niveau m de x, le développement de son logarithme comporte toutes les puissances xn à partir de n = 1.

- A partir du terme de rang m + 1, la suite du développement est une série alternée dont tous les termes sont organisés autour de polynômes Dm qui découlent eux-mêmes des coefficients tayloriens du développement de l’expression (1 + z) p , à savoir les dérivées successives de cette expression pour

 z = 0, soit :

            D1 = p                                              = p

            D2 = p.(p-1)                                     = p2 -   p

            D3 = p.(p-1).(p-2)                            = p3 - 3p2 +   2p

            D4 = p.(p-1).(p-2).(p-3)                   = p4 - 6p3 + 11p2 - 6p

            …………………………………………    2                   3                              m-1

            Dm = p.(p-1).(p-2) ….. 1                 = pm - K.pm-1 + K.pm-2.+/-  K.p

                                                                                    m                  m                               m

 Les coefficients K, que nous nommerons « hypercoefficients », se présentent selon un tableau qui n’est pas sans rappeler celui des coefficients binomiaux :

 

    m     q → 1    2    3      4      5       6………..

         

    1              1

    2              1    1

    3             1    3    2

    4                    1    6  11      6

    5             1  10  35    50    24

    6              1  15  85  225  274  120

     ……………………………………….

   

On peut faire sur ce tableau les remarques suivantes :

Les premiers termes de chaque ligne sont égaux à 1

Les derniers …………………………………… à (m-1)!

La somme des termes de chaque ligne est égale à m!

Leur somme alternée est égale à 0

Chaque hypercoefficient se déduit des précédents par l’expression :

             q        q                         q-1

            K = K  + (m-1). K

            m       m-1                      m-1

Si nous revenons aux formules de hyperfactorielles indiquées plus haut, nous pouvons constater que chacun des termes concernés a dans son coefficient une somme alternée de m termes, soit :

                                      2                                   3

(1/(m-1)! [ z (n+1-m) - K. z (n+2-m) - K. z (n+3-m) …….. +/- (m-1)! z (n)]

                                     m                                   m

Nous pouvons conjecturer que ce processus se poursuit dans les niveaux plus élevés, ce qui a pour conséquences :

- Que la série alternée est convergente pour x ˂ m

- Pour les valeurs négatives de x, que si x → - m, la série tend vers - ∞ pour les niveaux pairs, et vers + ∞ pour les niveaux impairs.

 

Pour les m premiers termes des développements des hyperfactorielles, la génération des coefficients est malheureusement beaucoup moins claire, ceux-ci étant « pollués » par des termes en Ln (2p), en g, en constantes C, ou des fractions rationnelles. La mise en évidence d’une règle générique, même sous forme de conjecture, est donc beaucoup plus problématique.

 

 

 

 

APPROCHE  TS

 

 

Niveau 1 :

 

Même expression que pour l’approche TA.

 

 

Niveau 2 :

 

On part cette fois de l’expression :

 

  Ln (x!!) = Ln (1!) + Ln (2!) …. + Ln (x!)

 

Avec :  Ln (1!) = - g    +  z (2)/2        -  z (3)/3        + z (4)/4 ………

                        Ln (2!) = - 2.g + (z (2)/2). 22 - (z (3)/3). 23 + (z (4)/4). 24 ….

                        Ln (3!) = - 3.g + (z (2)/2). 32 - (z (3)/3). 33 + (z (4)/4). 34 ... ..

              ……………………………………………………….

                        Ln (x!) = - x.g + (z (2)/2). x2 - (z (3)/3). x3 + (z (4)/4). x4

 

La somme par colonnes donne :

 

Ln (x!) = - g. h+1 (x) + (z (2)/2). h+2 (x) - (z (3)/3). h+3 (x) …..

 

Cette expression est une combinaison linéaire des fonctions h+n (x). Ces combinaisons ont été vues dans l’Annexe 2. Ici, avec des coefficients valant :

 

a0 = 0     a1 = - g      a2 = z (2)/2      a3 = z (3)/3  …….,on arrive à :

 

Ln (x!!) =                                                                                                       (5)

   [                - g /2    +  (1/2).b2.z (2) +  (1/4).b4.z (4) +    (1/6).b6.z (6) ..….]. x

+ [   - g      +  z (2)/2  -          b2.z (3)  -          b4.z (5)  -             b6.z (7) ..….]. x2/2

+ [z (2)/2   -  z (3)/2 +  (3/2).b2.z (4) + (5/2).b4.z (6)  +   (7/2).b6.z (8) …...]. x3/3

+ [- z (3)/3 + z (4)/2 -  (6/3).b2.z (5) - (15/3).b4.z (7) -   (28/3).b6.z (9) …. ]. x4/4

+ [z (4)/4  -  z (5)/2 + (10/4).b2.z (6) + (35/4).b4.z (8) + (84/4).b6.z (10) …]. x5/5

    ……………………………………………………………………………..

  Si nous rapprochons cette formule de la formule (2) (Approche TA), nous pouvons faire apparaître les identifications suivantes :

 

(1/2).b2.z (2) + (1/4).b4.z (4) + (1/6).b6.z (6) ….. = Ln (2p) /2 - g /2 - 1/2

         b2.z (3) +         b4.z (5) +          b6.z (7) ….  = 1 - z (2) /2

      3.b2.z (4) +      5.b4.z (6) +      7.b6.z (8) ….. =    z (2) - z (3)

      6.b2.z (5) +    15.b4.z (7) +    28.b6.z (9) ….. = 2.z (3) - (3/2).z (4)

    10.b2.z (6) +    35.b4.z (8) +    84.b6.z (10) ….= 3.z (4) - 2.z (5)

n-2                               n-2                                n-2………………………………………..

C b2.z (n+1) + C b4.z (n+3) + C b6.z (n+5) …   = (n-2).z (n-1) - (n/2 -1/2).z (n)

 n                                  n+2                               n+4

                En transposant de n-1 à n, on peut présenter cette formule sous la forme d’une expression de z (n) en fonction des z supérieures et des nombres de Bernoulli :

 

                                                                                                    n-1                               n-1

            z (n) = [1/(n-1)]. [(n/2).z (n+1) + C b2.z (n+2) + C b4.z (n+4) …..]    (6)

                                                                  n+1                               n+3

            Remarque : Pour les identités correspondant aux exposants impairs de x, on peut procéder à une inversion d’indices entre les b et les z, en appliquant les formules d’Euler :

b2 = 2.2! [z (2)/(2p)2]      z (4) = [1/(2.4!)].b4.(2p)4      z (6) = [1/2.6!].b6.(2p)6

 

On obtient notamment, pour les exposants 3 et 5 :

 

b4.z (2) /4 + b6.z (4) /6 +  b8.z (6) /8 .....  =           [z (2) - z (3)] / (2p)2

b6.z (2) /3 + b8.z (4) /4 + b10.z (6) /5 ….= 12. [3.z (4) – 2.z (5)] / (2p)4

 

Les nouvelles expressions ci-dessus se rapprochent des constantes r2 et r4 qui entrent dans les expressions de z (3) et de z (5)  (Approche hyperfactorielles chapitre 8). Malheureusement, les dénominateurs sont différents. Il reste à espérer qu’on pourrait retrouver les bons dénominateurs en combinant ces formules avec d’autres, qui restent à découvrir.

 

 

Niveau 3 :

 

Ln (x!!!) = Ln (1!!) + Ln (2!!) + Ln (3!!) …… + Ln (x!!)

 

Les valeurs successives de Ln (x!!) s’obtiennent à partir de la formule (2) (Approche TA), en donnant à x les valeurs successives 1, 2, 3 ….x :

 

[Ln (2p) /2 - g - 1/2]    + [z (2) - g - 1] /2    + [z (2) - z (3)] /3    - ……

[Ln (2p) /2 - g - 1/2].2 + [z (2) - g - 1].22/2 + [z (2) - z (3)].23/3 - ….. 

            ……………………………………………………………….

[Ln (2p) /2 - g - 1/2].x + [z (2) - g - 1].x2/2 + [z (2) - z (3)].x3/3 - ….

 

La sommation par colonnes donne :

 

Ln (x!!!) = [Ln (2p) /2 - g - 1/2]. h+1 (x)

                  + (1/2). [z (2) - g -1]. h+2 (x)

                 + (1/3). [z (2) - z (3)]. h+3 (x)

      - (1/4). [z (3) - z (4)]. h+4 (x)

        ………………………….

+/- (1/n).[z (n-1) - z (n)]. h+n (x)

 

Comme pour le niveau 2, on arrive à une combinaison linéaire des fonctions h+n (x). Le tableau résultant est cette fois :

 

 

 

Ln (x!!!) = [ (Ln (2p) /4 - g /2 - 1/4) + (1/2).b2.(z (2) - g -1)                           (7)         

      - (1/4).b4.(z (3) - z (4)) -   (1/6).b6.(z (5) - z (6)) - …………     ]. x                                                                                                                                                                                                                                                                             

 

+ [(Ln (2p) /2 - g -1/2) + (z (2) - g - 1) /2 +    b2.(z (2) - z (3))

             + b4.(z (4) - z(5)) +            b6.(z (6) - z (7)) + ……............]. x2/2

 

+ [(z (2) - g - 1) /2 + (z (2) - z (3)) /2 - ( 3/2).b2.(z (3) - z (4))

    -  (5/2).b4.(z (5) - z (6)) -   (7/2).b6.(z (7 - z (8)) - ………….... .]. x3/3

 

+ [(z (2) - z (3)) /3) - (z (3) - z (4)) /2 + (6/3).b2.(z (4) - z (5))

   + (15/3).b4.(z (6) - z (7)) + (28/3).b6.(z (8) - z (9)) + ……. …    .]. x4/4

            ………………………………………………………………….

            Si nous rapprochons cette formule de la formule (3) (Approche TA), nous pouvons encore faire apparaître des identités intéressantes, mais il faut d’abord décomposer les coefficients de la formule (7), pour leur partie « Bernoulli », comme suit :

 

- 1er degré :

[b2.z (2) /2 + b4.z (4) /4 + b6.z (6) /6+….]

              - [b2.(g+1)/2 + b4.z (3) /4 + b6.z (5) /6 +...]

 

            La première expression entre [ ] a été calculée avec le niveau 2. On sait qu’elle vaut : [Ln (2p) /2 - g /2 – 1/2]. L’identification avec (3) permet donc le calcul de l’autre expression, soit :

                        b4.z (3) /4 + b6.z (5) /6 + …. = Ln (2p) /4 - g /4 - 11/ 24 + C4 /2

 

- 2ème degré :

[b2.z (2) + b4.z (4) + b6.z(6) + ….] - [b2.z (3) + b4.z (5) + b6.z (7) + ….]

 

La deuxième expression entre [ ] a été calculée avec le niveau 2. On sait qu’elle vaut : 1 - z (2) /2. L’identification avec (3) donne :

                        b2.z (2) + b4.z (4) + b6.z (6) + ….. = 1/4

 

- 3ème degré :

- (1/2).[3.b2.z (3) + 5.b4.z (5) + 7.b6.z (7) + ….]

                                               + (1/2).[3.b2.z (4) + 5.b4.z (6) + 7.b6.z (8) + ….]

 

La deuxième expression entre [ ] a été calculée avec le niveau 2. On sait qu’elle vaut :  [z (2) - z (3)]. L’identification avec (3) donne :

3.b2.z (3) + 5.b4. z (5) + 7.b6.z (7) + …. = 1/2

 

- 4ème degré :

(1/3).[6.b2.z (4) + 15.b4.z (6) + 28.b6.z (8) + …..]

                                 - (1/3).[6.b2.z (5) + 15.b4.z (7) + 28.b6.z (9) + ….]

 

La deuxième expression entre [ ] a été calculée avec le niveau 2. On sait qu’elle vaut : [2.z (3) - (3/2).z (4)]. L’identification avec (3) donne :

 

            6.b2.z (4) + 15.b4.z (6) + 28.b6.z (8) + .... = z (2) /2

 

            La suite des degrés donnerait :

            10.b2.z (5) +  35.b4.z (7)  +  84.b6.z (9) + …..  =    z 3)

            15.b2.z (6) +  70.b4.z (8)  + 210.b6.z (10) + ...  = 3.z (4) /2

            21.b2.z (7) + 126.b4.z (9) + 462.b6.z (11) + .... = 2.z (5)

                        ..........................................................................

            D'où on peut tirer une autre expression générale de z (n) :

                                          n                                   n

z (n) = [2/(n-1)]. [C b2.z (n+2) + C b4.z (n+4) + ……                          (8)

                                    n+2                              n+4

Pour certaines de ces expressions, on peut procéder à l’inversion des indices des b et des z, Ce qui conduit notamment à :

 

            b4.z (2) + b6.z (4) + b8.z (6) + ….. = - z (2) / (2p)2    = - b2 /4 = - (1/24)

            b6.z (2) + b8.z(4) + b10.z (6) + …. = 36.z (4) / (2p)4 = - 3.b4 /4 = 1/40

 

 

            Suite :

 

            On pourrait poursuivre indéfiniment l’examen des différents niveaux et des degrés successifs, et donner ainsi des valeurs à une multitude de séries en bp.z (q). Citons quelques unes des plus simples :

 

            Niveau 4 :

 

- 1er degré :

On ne met en jeu que des séries déjà calculées, et on aboutit en fin de compte à l’expression déjà connue :

 

z (3) = (2p)2.[1/36 - C3/6 + C4/2 - C5/3]    (voir Approche hyperfactorielles)

 

- 2ème degré :

                        b4.z(3) + b6.z (5) + b8.z(7) + …… = - (1/36)

 

- 3ème degré :

                        3.b2.z (2) + 5.b4.z (4) + 7.b6.z (6) + …. = z (2) /3 + 1/6

                        ………….. etc ………………….

 

            Niveau 5 :

 

- 3ème degré :

                        5.b4.z (3) + 7.b6.z (5) + 9.b8.z (7) + …. = - (1/8)

 

- 4ème degré :

                        6.b2.z (2) + 15.b4.z (4) + 28.b6.z (6) + ….. = (3/4).z (2) + 1/8

 

            A ce stade, il ne semble pas qu’on ait les moyens de faire apparaître les séries qui nous intéresseraient, à savoir celles correspondant aux constantes r2 et r4 conduisant aux valeurs de z (3) et de z (5).

            Il n’est pas non plus démontré que c’est impossible.

 

            Remarque : le rapprochement des formules (6) et (8) conduit, après transposition (n+1) → n , à une nouvelle expression de z (n) :

                                            n-1     n-2                                            n-1     n-2

            z (n) = [2/(n-1)]. [(2.C - C ). b2. z (n+1) + (2.C - C ). b4. z (n+3) …]

                                                 n+1     n                                              n+3    n+2

            On peut montrer que les expressions en C sont de la forme (en prenant comme indice q celle du nombre de Bernoulli correspondant) :

 

            Cq = (1/q!). [n.(n+1)….(n+q-2).(n+2q-1)]

 

            Ce qui donne :

 

z (n) = [2.n /(n-1)]. [(n+3).b2.z (n+1) /2! + (n+1).(n+2).(n+7).b4.z (n+3) /4! ....

                        + (n+1).(n+2)….(n+q-2).(n+2q-1).z (n+q-1).bq /q! ...]          (9)

                       

d’où on peut tirer des expressions originales de z (3) :

 

                                   z (3) = 32.b2.z (4) + 52.b4.z (6) …. + (q+1)2.bq.z (q+2) …

ou, avec l’inversion :

                                    z (3) = (2p)2. [3.b4.z (2) /4 …. + (q-1).bq.z (q-2) /q …

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 ANNEXE 5 : DEVELOPPEMENT TAYLORIEN DE LA FACTORIELLE

 

 

            Première approche :

 

            Le développement de la factorielle peut être obtenu à partir de celui de son logarithme, qui est connu, soit :

 

            Ln ( x!) = - g. x + z (2).x2 /2 - z (3).x3 /3 … +/- z (q).xq /q , ce qui donne :

 

            x! = e Ln (x!) = 1 +             [- g. x + z (2). x2 /2 - z (3). x3 /3 ….. ]

                                     + (1/ 2!). [ …………………………………....] 2

                                             + (1/ 3!). [ ……………………………………] 3

                                                     …………………………………………….

            En effectuant, on peut faire apparaître les différents termes classés par puissances croissantes de x, qui ne sont autres que les coefficients de Taylor recherchés. On trouve pour les premiers :

                                                             a0 = 1

                                                           a1 =  - g

                                               a2 =       z (2) + g2

                                    a3 =  - 2.z (3) - 3.g. z (2) - g3

                        a4 =     6.z (4) + 8.g. z (3) + 6.g2. z (2) + 3.(z (2))2 + g4

a5 = - 24.z (5) - 30.g. z (4) - 20. z (2). z (3) - 20. g2. z (3) - 15.g. (z (2))2

        - 10.g3. z (2) - g5

 

On arrive à une structure « en vol de canards » dont les termes du bord de gauche sont manifestement de la forme : +/- (n-1)! z (n) et ceux du bord de droite de la forme : +/- gn. Malheureusement, plus il y a de canards par ligne, plus les expressions deviennent  complexes, ce qui laisse peu d’espoir de faire apparaître une loi générique simple.

On trouvera ci-dessous  les six premières valeurs numériques, pour lesquelles on a remplacé les coefficients an par an/n! :

 

a0 = 1                       a1 = - 0,577216          a2 /2! = 0,989056     a3 /3! = - 0,907479   

a4 /4! = 0,981728     a5 /5! = - 0,981995     

 

            Au-delà de a5, les formules deviennent rapidement trop compliquées pour être utilisables, que ce soit analytiquement ou numériquement.

 

            Deuxième approche :

                                                                            

            On part de l’intégrale eulérienne :  x! = ∫ tx.e-t.∂t

                                                                           0

et on remplace tx par un développement en série taylorienne :

 

            tx = eLn (tx) = ex.Ln (t) = 1 + x.Ln (t) + x2.(Ln (t))2 /2! … + xn.(Ln (t))n /n!

 

ce qui donne pour x! :

 

 

                                                                                                                                                     

x! = ∫e-t.∂t + x. ∫(Ln (t)).e-t.∂t + (x2 /2!). ∫(Ln (t))2.e-t.∂t …..     

       0                0                                    0                   + (xn /n!). ∫(Ln t))n.e-t.∂t   (1)

                                                                                                  0

Cette formule peut être considérée comme le développement taylorien de x! dont les coefficients sont donc de la forme :   

                                                           an = ∫(Ln (t))n.e-t.∂t

                                                                              0

            Les deux premières intégrales ont des valeurs classiques, soit 1 et -g . Les suivantes, qui ne sont pas intégrables par des procédés habituels, ont néanmoins des expressions analytiques, qui ne sont autres que celles données au paragraphe précédent, les deux approches devant nécessairement conduire aux mêmes résultats. Toutes les intégrales ont donc bien des valeurs analytiques, mais dont la cohérence n’apparaît pas clairement.

 

            Pour visualiser l’allure des coefficients, il est intéressant de tracer graphiquement les fonctions (Ln (t))n.e-t :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pour 1 ˂ t ˂ ∞, les intégrales sont systématiquement positives. (Partie I)

Pour 0 ˂ t ˂ 1, elles sont alternativement négatives et positives. (Partie G)

On voit donc apparaître deux familles de coefficients :

Coefficients de rang pair, obligatoirement positifs.

Coefficients de rang impair, résultant d’une soustraction, et pouvant donc être négatifs ce que confirment les chiffres vus au paragraphe précédent.

 

La détermination numérique des coefficients passera par les fonctions dites gx (t) définies comme suit :

 

gx (t) = t - t2 / (2x.2!) + t3 / (3x.3!) … +/- tq  / (qx.q!)    dont la dérivée est :

 

gx’ (t) = 1 - t / 2x-1.2! + t2 / (3x-1).3! … +/- tq-1 / (qx-1).(q-1)!

 

On peut observer une caractéristique fondamentale de ces fonctions, soit :

 

gx’ (t) = gx-1 (t) / t

 

On a par ailleurs : g0 (t) = t - t2 /2! + t3 /3! … +/- tq /q!  = 1 - e-t

 

Reprenons l’intégrale eulérienne, mais en adoptant t comme limite supérieure, soit :               t

                Ex (t) = ∫ tx.e-x.∂x

                            0

On peut l’exprimer par son développement taylorien en reprenant la formule (1) et en adoptant t comme limite supérieure des intégrales :

                                                                                              t

Ex (t) = a0(t) + a1(t).x + a2(t).x2 /2! ... + an(t).xn /n!       avec an(t) = ∫ (Ln (t))n.e-t.dt

                                                                                             0

Posons : an(t) /n! = (Ln (t))n.g0 (t) /n! - (Ln (t))n-1.g1 (t) /(n-1)! …

                               +/- (Ln (t))n-q.gq (t) /(n-q)! … +/- Ln (t).gn-1 (t) -/+ gn (t) (2)

 

Dérivons cette expression. Le premier terme devient :

 

(Ln (t))n-1.g0 (t) / t.(n-1)! + (Ln (t))n.g0 (t) /n!

 = (Ln (t))n-1.g0 (t) / t.(n-1)! + (Ln (t))n.e-t /n!

En effet, on a bien g0’ (t) = e-t

Le terme courant devient :

 

+/- (Ln (t))n-q-1.gq (t) / t.(n-q-1)! +/- (Ln (t))n-q.gq’ (t) /(n-q)!

 

            Associons-lui le terme suivant, qui devient :

 

-/+ (Ln (t))n-q-2.gq+1 (t) / t.(n-q-2)! -/+ (Ln (t))n-q-1.gq+1’ (t) /(n-q-1)!

 

            On peut noter que la première partie du terme courant dérivé s’annule avec la deuxième partie du terme suivant dérivé, car : gq (t) / t = gq+1’ (t)

            Ces annulations se reproduisent tout le long de la chaîne, y compris le dernier terme gn (t). Seule y échappe la deuxième partie du premier terme dérivé, à savoir l’expression : (Ln (t))n.e-t /n! , car elle devrait trouver son annulation avec le terme précédent, qui n’existe pas. On a donc en définitive :

                                                                              t

            (an(t))’/n! = (Ln (t))n.e-t /n!   ou : an (t) = ∫ (Ln (t))n.e-t.dt

                  0

 Ce qu’on savait, et qui confirme donc la justesse de la formule (2).

Les premières valeurs calculées avec cette formule sont :

 

a0 (t)      = g0 (t)

a1 (t)      = Ln (t).g0 (t) - g1 (t)                                                        (3)

a2 (t) /2! = (Ln (t))2.g0 (t) /2! - Ln (t).g1 (t) + g2 (t)

a3 (t) /3! = (Ln (t))3.g0 (t) /3! - (Ln (t))2.g1 (t) /2! + Ln (t).g2 (t) - g3 (t)

            …………………………………………………

Pour passer à la factorielle, il faut faire tendre t vers l’infini. A part a0 qui tend vers 1, tous les autres termes deviennent eux-mêmes infinis, et c’est le jeu des sommes et des différences qui conduit à des valeurs finies pour les coefficients an.

Le calcul numérique ne pose pas de problème, à condition de disposer d’une machine programmable. En poussant jusqu’à t = 15 et en calculant les valeurs des expressions gn sur une soixantaine de termes, on arrive au tableau ci-dessous :

a0 = 1     a1 = - 0,577215288     a2  /2! = 0,989055986        a3 /3! = - 0,907479089

         a4 / 4! = 0,981728079       a5 / 5! = - 0,981995073     a6 /6! = 0,993149112

         a7 / 7! = - 0,996001761     a8 /8! = 0,998105694        a9 /9! = - 0,999025268

       a10 /10! = 0,999515656

 

            Troisième approche :

 

            Cette approche est en fait une amélioration de la précédente, consistant à traiter séparément la partie I et la partie G de l’intégrale d’Euler.

La partie I se prête éventuellement à une évaluation graphique. Il n’en va pas de même pour la partie G, du fait de l’asymptote verticale. Cette partie doit donc faire l’objet d’une recherche particulière.

Si nous examinons le tableau (3) en faisant t = 1, il ne subsiste que les termes ne contenant pas Ln (t), ce qui donne :

 

Gn /n! = +/- gn (1)                                             (signe + pour les valeurs paires)

          = +/- [1 - 1/ 2n.2! + 1/ 3n.3! ….+/- 1/ qn.q! …]

 

Ces séries sont très convergentes, et donc aisément calculables, avec, pour les extrêmes (n = 0 et n → ∞) :

 

G0 = 1 - e-1     et  Gn /n!→ +/- 1

Le tableau des premières valeurs se présente comme suit :

 

G0       = 0,632120559       G1       = 0,796599600        G2/2! = 0,891212798

G3/3! = 0,943082568       G4/4! = 0,970657191        G5/5! = 0,985022680

G6/6! = 0,992406456       G7/7! = 0,996167517        G8/8! = 0,998071662

G9/9! = 0,999031750   G10/10! = 0,999514502

 

La partie G de la factorielle peut se présenter sous la forme du tableau suivant :

 

 

 

         1  -  1/ 2!   +  1/ 3!   -  1/ 4! ….

  - x .[1  - 1/ 2.2! + 1/ 3.3!  - 1/ 4.4! …. ]

 + x2.[1 - 1/ 22.2! + 1/ 32.3! - 1/ 42.4! …]

  - x3.[1 - 1/ 23.2! + 1/ 33.3! - 1/ 43.4! ...]

………………………………………….

+/- xq.[1 - 1/ 2q.2! + 1/ 3q.3! - 1/ 4q.4! …]

 

Les regroupements par colonnes donnent :

 

                1 - x + x2 - x3 ….                   =   1/ (x+1)

  - (1/2!).[1 - x/2 + (x/2)2 - (x/2)3 ….]   = - 1/ 2!(x/2 +1)  

 + (1/3!).[1 - x/3 + (x/3)2 - (x/3)3 ….]   = + 1/ 3!(x/3 +1)  

…………………………………………..

+/- (1/q!).[1 - x/q + (x/q)2 - (x/q)3 …]  = +/- 1/q!(x/q +1)

 

            Ce qui donne finalement pour la partie G :

 

x!G = 1/ (x+1) - 1/ 2!(x/2 + 1) + 1/ 3!(x/3 + 1) …. +/- 1/q!(x/q + 1)    (4)

 

            Cette série converge très bien, et cela d’autant plus que x est plus grand, les premières valeurs étant :

1!G = 0,265     2!G = 0,161     5!G = 0,072

 

On voit que la partie G représente une part assez faible (et tendant vers zéro) de la factorielle, du fait de la structure alternée de la formule (4). On peut la calculer facilement, avec toute la précision souhaitée.

 

Pour la partie I, la liste des coefficients peut être établie graphiquement, mais aussi plus simplement en appliquant : In/n! = an/n! - Gn/n! , ce qui donne :

 

I0       = 0,367879441             I1 = 0,219384311        I2/2! = 0,097843188     

I3/3! = 0,035603479         I4/4! = 0,011070888       I5/5! = 3,027607 10-3

I6/6! = 7,426560 10-4        I7/7! = 1,657553 10-4      I8/8! = 3,403139 10-5   

I9/9! = 6,482608 10-6     I10/10! = 1,153713 10-6

 

            On observe que ces coefficients tendent vers zéro, ce qu’on démontre facilement en écrivant :                                                    

                                   In/n! = [∫ (Ln (t))n.e-t.∂t] / [∫ tn.e-t.∂t]

1                                                          0

Le rapport entre t et Ln (t) est toujours supérieur à 1, et tend vers l’infini en même temps que t. Le dénominateur devient donc infiniment plus grand que le numérateur.

La partie I de la factorielle s’écrit :

 

x!I = I0 + I1.x + I2.x2 /2! + I3.x3 /3! … + Iq.xq /q! …   (5)

            On peut faire apparaître une autre présentation des formules en transférant I0 de la partie I à la partie G, avec :

                   

            I0 = ∫ e-t.∂t = e-1 = 1/2! - 1/3! + 1/4! ….

                   1

L’expression de la factorielle devient :

 

x! = 1/ (x+1) – x / 2!(x+2) + x / 3!(x+3) …. +/- x / q!(x+q)

 

      + I1.x + I2.x2 /2! + I3.x3 /3! … + Iq.xq /q! …

 

            On peut passer à (x-1)! en divisant par x :

 

(x-1)! = 1/x - 1/ (x+1) - 1/ 2!(x+2) + 1/ 3!(x+3) …. +/- 1/ q!(x+q) …

 

           + I1 + I2.x /2! + I3.x2/3! …. + Iq.xq-1/q! ….

 

            Et revenir à x! par la transposition x-1 → x :

 

x! = 1/ (x+1) - 1/ (x+2) - 1/ 2!(x+3) ….. +/- 1/ q!(x+q+1) …

 

     + I1 + I2.(x+1) /2! + I3.(x+1)2 /3! …. +/-  Iq.(x+1)q-1/q! …

 

            On constate qu’il y a identité entre la première ligne de cette expression avec la partie G définie par la formule (4). Il doit donc aussi y avoir identité entre la deuxième ligne et la partie I définie par la formule (5), ce qui permettra une identification selon les puissances de x. Pour cela il faut développer les expressions (x+1)q  en introduisant les polynômes classiques :        

[I1]

[x + 1].I2/ 2!   

[x2 + 2x + 1].I3/ 3!

[x3 + 3x2 + 3x +1].I4/ 4!

[x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1].I5/ 5!

            ……………………….

[xq + q.xq-1 + [q!/ 2!(q-2)!].xq-2 + [q!/ 3!(q-3)!].xq-3  ….. + q.x + 1].Iq+1/ (q+1)!

 

            En introduisant ces polynômes et en identifiant avec la formule (5) selon les puissances de x, la deuxième ligne ci-dessus donne :

 

     I0 = I1 + I2/ 2! + I3/ 3! + I4/ 4! ….  

     I1 = I2/ 2! + 2.I3/ 3! + 3.I4/ 4! + 4.I5/ 5! …  

I2/ 2! = I3/ 3! + 3.I4/ 4! + 6.I5/ 5! + 10.I6/ 6!….   

I3/ 3! = I4/ 4! + 4.I5/ 5! + 10.I6/ 6! + 20.I7/ 7!…..

            ……………………………………………

In/ n! = In+1/ (n+1)! + (n+1).In+2/ (n+2)! + [(n+2)!/ 2!n!].In+3/ (n+3)!

           + [(n+3)!/ 3!n!].In+4/ (n+4)! …..

 

En multipliant par n, on arrive finalement à :

 

In = In+1/ (n+1) + In+2/ (n+2) + In+3/ 2!(n+3) .... + In+q / (q-1)!(n+q)   (6)

 

Expression très simple qui donne une intégrale In en fonction des intégrales suivantes, ce qui ne permet pas de dégager un algorithme permettant de les calculer. Par contre, on peut s’en servir pour avoir une idée de la croissance de In quand n devient très grand.

Pour cela, faisons l’hypothèse que la suite des intégrales I se présente, au voisinage de l’indice n, comme une suite géométrique de raison a. La formule (6) devient :

In = a.In / (n+1) + a2.In / (n+2) + a3.In / 2!(n+3) + a4.In / 3!(n+4) .....

 

En admettant que les termes (n+q) peuvent être assimilés à n et en divisant par a.In / n , on arrive à :

 

n / a = 1 + a + a2/ 2! + a3/ 3! ....  = ea

 

Au voisinage de n (pour n→ ∞), la raison locale a peut donc s’exprimer :

 

 a.ea = n      (7)

 

Il est intéressant de tracer sur le même graphique la courbe a (n) selon cette formule (7) et la courbe des quotients réels In+1/ In

 

 

Commentaires sur ce graphique :

On voit apparaître clairement la bonne approximation fournie par la forme asymptotique quand on va vers les n élevés.

Cela permet de montrer qu’on obtient a = p vers n = 73, information qui s’avère utile pour l’évaluation de la série de Wallis (voir « Séries alternées)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

            BIBLIOGRAPHIE

 

 

«Ce diable d’homme d’Euler »     Marc Guinot           Editions Aléas (Lyon)

 

Mathématiques pour l’agrégation    Michel Zisman    Editions Dunod

 

Formules et tables de mathématiques  Murray R Spiegel  Editions Mcgraw-Hill

                                                                                                          (Montréal)

 

Divergent Series   Godfrey H. Hardy    AMS Chelsea Publishing

 

 

Cette bibliographie est des plus réduites. L’ouvrage de base est celui de Marc Guinot qui, écrit par un autodidacte à l’intention d’un public d’amateurs, présente l’avantage d’être facilement compréhensible 

 

 

 

 

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