CONJECTURE  DE  SYRACUSE

 

                      ABSENCE  DE  CYCLES

 

 

Dans cette étude, l’algorithme de base choisi pour passer d’un terme d’une suite de Syracuse au terme suivant est :

 

                   In+1 = (3.In + 1) / 2 j   (In étant un impair, l’exposant j est tel que In+1 est aussi un impair.)

 

On nomme itération une application de cet algorithme.

 

On nomme séquence q applications successives de cet algorithme.

(Une séquence peut être définie par une succession de ses termes impairs.)

 

On nomme divisibilité totale pour une séquence le nombre j, addition de tous les exposants j de cette séquence :

                                 j = j1 + j2 + j3 …. + jq      

 

Une séquence divergente est telle que I0 étant fini,  q, j, et Iq tendent vers l’infini.

 

Un cycle est une séquence où on a : Iq = I0     (I0, q, and Iq étant finis)

(Le cycle « trivial » se compose d’une seule itération pour laquelle on a : I1 = I0 = 1)

 

Il est généralement admis, et assez évident, qu’une séquence poussée aussi loin que possible et qui n’aboutirait pas à 1 peut se présenter de deux façons :

-         Elle est divergente, c’est-à-dire qu’elle part d’un nombre I1 fini et comporte un nombre infini de termes qui deviennent eux-mêmes infinis.

-         Elle aboutit à un cycle non trivial composé d’un nombre fini n de termes, chacun de ces termes revenant systématiquement avec une périodicité n quand on étend ce parcours, tant vers l’amont que vers l’aval.

La présente étude traite du problème des cycles. Elle tend à montrer qu’il est impossible d’affirmer a priori qu’il peut exister des cycles ou qu’il ne peut pas en exister (indécidabilité).

 

Algorithme général :

Considérons une séquence qui fait passer du nombre impair I au nombre impair J.

Soit q le nombre d’itérations que comprend cette séquence.

Soient j1, j2, j3 ….jq les nombres de divisions par 2 que présentent les itérations successives, et j la divisibilité totale, soit : j = j1 + j2 + j3 …. + jq

On démontre facilement qu’on a :

                                                          J = (E / 2 j) + (3 q / 2 j) . I       (1)

 

                                              Avec :  E = 3 q - 1 + (3 q - 2.2 j1) + (3 q - 3. 2 j1 + j2) … + 2 j1 + j2 … + jq-1         (1’)

 

A ce stade, on peut faire apparaître trois types de séquences :

-         Séquences montantes classiques, pour : 3 q > 2 j  (Les deux termes de (1) « tirent » vers le haut.)

-         Séquences descendantes, pour : 3 q < 2 j   (Le second terme est prépondérant sur le premier.)

-         Séquences paradoxales, pour : 3 q < 2 j , mais néanmoins montantes. (Le premier terme est prépondérant sur le second.)  De telles séquences existent effectivement, mais il semble qu’on ne les rencontre que pour des valeurs assez faibles de q.

 

Un cycle se caractérise par I = J, ce qui débouche sur :                   I = E / D   aves D = 2 j - 3 q    (2)

C’est le cas limite entre les séquences descendantes et les autres.

E et D ont une caractéristique commune : ils ne sont divisibles ni par 2, ni par 3.

On peut pressentir l’hypothèse suivante :

 

Hypothèse 1 :

Pour qu’une séquence soit un cycle, il faut et il suffit que E soit divisible par D, le quotient étant alors I, premier terme de la séquence.

 

La condition nécessaire est évidente,  puisqu’elle découle de la simple application de la formule (1).

La condition suffisante l’est un peu moins, car on ne peut pas écarter la possibilité qu’il existe un quotient entier k = E / D  qui soit différent de I. Nous laisserons pour le moment cette condition à l’état d’hypothèse. (Voir en annexe)

 

Notons que s’il existe un cycle I0  I1  I2 …. Iq, il en existe forcément q résultant de décalages successifs des indices. Chacun de ces cycles se caractérise par un E et par un I tels qu’on a toujours :   E / I = D

 

Supposons dans un premier temps que l’addition de 1 à chaque itération pèse d’un poids négligeable. Le passage de I à J se ramène alors à une succession de q multiplications par 3 et de j divisions par 2, soit :

                                                    J = (3q / 2j) . I

 

Pour que la séquence soit cyclique, il faudrait : 3 q = 2 j , soit : q . Ln (3) = j . Ln (2) ,

 

 Soit :   j / q = Ln (3) / Ln (2) = r ≈ 1,5849625007   équivalant à : 2r = 3      

 

Dans le cas d’une séquence réelle, l’addition des unités ne peut pas être négligée. Pour se rapprocher d’une séquence cyclique, il faut donc que le rapport 3 q / 2 j soit inférieur à 1, pour tenir compte de l’addition du terme E / 2 j, mais en en étant aussi proche que possible. Par ailleurs, le nombre rationnel j / q ne peut pas être égal à r qui est irrationnel. Pour une séquence de q itérations, nous sommes donc conduits à rechercher la divisibilité totale j telle que :

                                                                                   j / q = r + e    (3)         en cherchant à minimiser e.

 

Nous sommes ici en présence d’un problème assez classique qui est celui des meilleures approximations rationnelles d’un nombre irrationnel.

Il a été établi ( M. Waldschmidt) qu’on peut admettre pour e un minorant égal à q -15 .

Ce minorant paraît toutefois extrêmement pessimiste. En effet, une analyse numérique poussée jusqu’à q = 5,75 . 1015  montre que, pour tout ce domaine, un minorant de l’ordre de q -2,5 conviendrait parfaitement.

Quant au majorant, il est assez facile à établir : si, en partant du j mini pour lequel e est voisin de zéro, on augmente progressivement j, on peut aller au maximum à j + 1, ce qui donne (avec e = 0) :

 

(j + 1) / q = r + (1 / q)     On a donc e max = 1 / q

 

Hypothèse 2 :

Nous admettrons qu’un cycle ne peut s’envisager que si e est le plus petit possible tout en étant positif.

 

Nombre et segmentation des nombres E :

     Il a été démontré que pour q et j donnés, il existe N nombres E ,  N étant le coefficient binomial de (j - 1) et (q - 1), soit :

                                 N = (j - 1) ! / [(q - 1) ! . (j - q) !]

 

On peut admettre que N peut se décomposer en P boucles, chacune de ces boucles regroupant q valeurs de E se déduisant les unes des autres par une permutation au niveau des exposants jk

 

Exemple : soit q = 5 et j = 8 . Si on part du vecteur des jk : 3 1 2 1 1 , la boucle correspondante comprendrait en plus les vecteurs : 1  2  1  1  3 ,    2  1  1  3  1 ,    1  1  3  1  2 ,    et 1  3  1  2  1

S’il existe un cycle, celui-ci correspond nécessairement à une des boucles ainsi définies.

Le nombre de boucles P est :

                                                      P = (j - 1) ! / [q ! . (j - q) !]

 

 

Notion d’amplitude de boucle :

Cette notion repose sur la configuration du vecteur des jk. Selon cette configuration, on peut avoir des boucles de forte amplitude, c’est-à-dire présentant un écart important entre la valeur la plus élevée de E et sa valeur la moins élevée. A l’inverse, on peut avoir des boucles de faible amplitude dans le cas contraire. La plus forte amplitude se rencontre quand tous les jk sauf un sont égaux à 1, celui qui reste étant alors égal à : ( j - q + 1).

Si on reprend l’exemple 5, 8 cité plus haut, la plus forte amplitude se rencontre avec la boucle comportant le vecteur   4 1 1 1 1  et le vecteur 1 1 1 1 4        

A l’inverse, la plus faible amplitude se rencontre quand le vecteur des jk ne comprend que des 1 et des 2 intercalés de telle sorte qu’on ait la plus grande régularité possible.

Toujours avec l’exemple 5, 8 , on a alors comme point haut le vecteur 2 2 1 2 1 , et comme point bas le vecteur 1 2 1 2 2.

 

Pour la plus forte amplitude, il est assez facile de quantifier les E extrêmes, dont les termes se présentent sous forme de suites géométriques. Dans le cas général, on trouve :

 

                                                                Emax = 3q-1 + 2j-q+1.(3q-1 - 2q-1)     et  Emin = 3 q - 2 q  

L’exemple 5, 8 donne 1121 et 211.

 

Pour l’approche numérique de la plus faible amplitude, le calcul est moins évident. On peut s’en tirer avec une approximation consistant à définir un E virtuel Ev correspondant à un vecteur fictif des jk qui ne comprendrait que des valeurs identiques, à savoir j/q. On peut alors travailler sur une suite géométrique qui conduit à la valeur :

                                                           Ev = (2j - 3q) / (2 j /q - 3) = D / (2 j/q - 3)

 

Dans le cas hypothétique où cette boucle serait un cycle, le nombre I correspondant serait donc :

 

                                                           Iv = 1 / (2 j/q - 3)

 

L’exemple 5, 8 donne : Ev = 414, alors que la boucle réelle d’amplitude minimum évolue entre un maximum de 557 et un minimum de 319.

 

Approximations de D et de P :

Nous avons vu qu’on a : D = 2 j - 3 q . En faisant : j = q . r + q. e , on obtient : D = 3 q . (2 q . e - 1)

Si, grâce à l’hypothèse 1, on considère que le produit q . e est petit, on peut admettre :

                                                                                                                                    D = 3 q . q.e . Ln (2)

Pour P, on admet l’approximation : j = q . r  (ce qui n’était pas possible pour D)

L’expression de P devient :

                                             ( q.r - 1) !  / [ q ! . ( q . (r - 1)) ! ] = ( q.r) ! / [ q.r . q ! ( q . ( r - 1)) ! ]

 

Rappelons qu’une factorielle peut s’exprimer par la formule de Stirling, dont la forme simplifiée est :

 

                         x ! = ( 2 . p) 0,5 . x 0,5 . x x / e x    (admissible quand x est grand)

 

 Si on exprime ainsi les trois factorielles de la formule ci-dessus, on arrive, tous calculs faits, à :

 

         P = [ (r . ( r - 1) . 2.p) ] - 0,5 . q - 1,5 . [ r r / (r - 1) r - 1 ] q

                                                                                                                                           =  0,4143 . q - 1,5 . 2,8395 q

 

Analyse de la divisibilité :

Intuitivement, la probabilité pour que E soit divisible par D est égale à 1 / D. ( le fait que E ne soit divisible ni par 2 ni par 3 complique légèrement les choses, mais ne modifie pas cette règle.) Cette affirmation serait indiscutable si la relation entre E et D était parfaitement aléatoire, ce qui n’est pas le cas, puisque les deux nombres découlent de q et j. Toutefois, les algorithmes conduisant à E d’une part et à D d’autre part sont extrêmement différents, ce qui permet de parler d’une relation pseudo aléatoire. On admettra donc :

 

Hypothèse 3 :

Le caractère pseudo aléatoire de la relation entre E et D est suffisamment affirmé pour considérer que la probabilité de divisibilité de E par D est d’un ordre de grandeur voisin de 1 / D .

 

On arrive maintenant au problème : pour un q donné, quelle est la probabilité pour qu’il y ait une divisibilité par D sur l’ensemble des E correspondants ? Dans un cas général, cette probabilité serait voisine de N / D. Toutefois, il faut se souvenir que s’il existe une divisibilité, il en existe forcément q, ce qui conduit à remplacer le nombre N par le nombre P . La probabilité résultante, que nous nommerons pq , devient donc P / D.

(La loi binomiale des probabilités rend cette approximation légitime dans la mesure où pq est petite, ce qui est le cas ici)

Remarque : il a été démontré (O. Rozier) que la boucle d’amplitude maximum ne peut jamais être un cycle, mais cette démonstration ne peut pas être étendue aux autres boucles. En toute rigueur, l’expression de pq serait donc (P - 1) / D , ce qui n’a pas d’incidence appréciable, numériquement parlant.

 

En reprenant les expressions établies plus haut de ces deux grandeurs P et D, on arrive à :

 

pq = 0,4143 . q - 1,5 . 2,8395 q  /  [ 3 q . q . e . Ln (2)]

 

Après avoir effectué les simplifications, on arrive à :

 

pq = 0,6 . q - 2,5 . e -1 . 0,9465 q       (4)

 

On voit se dessiner une constatation : si pq est petite, elle n’est cependant pas nulle, et cela jusqu’à l’infini, ce qui montre qu’on ne peut pas écarter complètement la possibilité qu’il y ait des cycles. Pour prononcer l’indécidabilité, il reste à écarter la certitude, ce qui conduit à espérer que pq est assez petite pour que, même en considérant la totalité des q jusqu’à l’infini, la sommation des pq restera inférieure à 1.

Pour rester rigoureux, il faut travailler sur une valeur majorante de pq, soit une valeur minorante de e. C’est là qu’on peut faire intervenir le minorant q - 15. Malheureusement, ce dernier n’est utilisable que pour des q assez élevés, ce qui signifie qu’il faut pouvoir mettre hors jeu les valeurs basses de q.

Sur ce plan, on peut se référer à des études antérieures ( J Lagarias    M Sinisalo) qui ont montré qu’on ne peut pas avoir de cycles jusqu’à des valeurs très élevées de q (10 9 pour Sinisalo).

Pour simplifier tout en restant prudents, nous admettrons (avec une forte marge de sécurité) :

 

Hypothèse 4 :

Il ne peut pas y avoir de cycles non triviaux en dessous d’une limite q = 10 4 .

 

 Il ne reste plus qu’à démontrer que la sommation des pq de 10 4 à l’infini conduit à un nombre raisonnablement faible. 

 

 Admettons pour e le minorant  q - 15. La formule (4) devient :

                                                                                                   pq < 0,6 . q 12,5 . 0,9465 q

 

Considérons ce que devient cette probabilité quand on passe de q à (q + 1) :

 

p (q + 1) < 0,6 . (q + 1) 12,5 . 0,9465 q + 1 = 0,6 . q 12,5 . ( 1 + 1 / q) 12,5 . 0,9465 q + 1

 

Le quotient p (q + 1) / pq s’établit à :  0,9465 . ( 1+ 1 / q) 12,5

 

Comme on travaille avec des q supérieurs à 10 4, on voit que le second facteur est très voisin de 1, et qu’on peut donc se ramener à une suite géométrique de raison très voisine de 0,9465. Pour calculer sa sommation, il faut partir de son premier terme, soit :

 

                                  p10000 < 0,6 . 10 50 . 0,9465 10000  = 0,6 . 10 – 189

 

La sommation de 10000 à l’infini donne :  0,6 . 10 – 189  /  (1 - 0,9465) = 10 – 188  (approximativement)

 

Ce chiffre très bas montre qu’en ce qui concerne l’évaluation de la probabilité de divisibilité E / D, on peut s’accorder, par rapport à l’hypothèse 3, une très forte marge d’imprécision.

 

Conclusion :

La possibilité d’avoir des cycles non triviaux ne peut exister que pour des valeurs très élevées de q .

Elle s’exprime par une probabilité très faible, mais non nulle.

Il n’y a donc ni impossibilité ni certitude, ce qui correspond à prononcer l’indécidabilité.

 

 

 

 

 

 

 

                        ANNEXES

 

Commentaire concernant « Syracuse moins » :

On désigne ainsi le problème identique au problème de Syracuse classique, mais dans lequel on remplace (3.x + 1) par (3.x - 1).

Si on en fait l’analyse, on trouve la même formulation que ci-dessus, avec les mêmes expressions de E et D, à des signes près. La condition d’apparition des cycles reste la même, à savoir que E doit être divisible par D.

Or, on rencontre dans ce problème des cycles non triviaux qui mettent en jeu des nombres q faibles (2 et 7), ce qui conduit au raisonnement suivant : comme on ne voit aucun motif logique pour que des cycles apparaissent dans le problème (3.x - 1)  et pas dans le problème (3.x  + 1), on peut imaginer que, dans les deux cas, les cycles peuvent apparaître de façon aléatoire, mais surtout pour les nombres faibles. Leur présence dans un cas et pas dans l’autre relèverait alors du hasard et non de la nécessité.

L’existence constatée de séquences paradoxales semble aller dans le même sens.

 

Commentaire concernant les séquences paradoxales :

Pour les examiner, il convient de reprendre la formule (1) en la présentant comme suit :

 

I + dI = (E / 2 j) + (3 q / 2 j) . I      Ou encore  :                    I = [ E - 2 j . dI ] / D    (5)

 

Dans les séquences paradoxales, dI est positif. Dans les séquences descendantes classiques, il est négatif. Dans les éventuelles séquences cycliques, il serait nul. 

Les séquences paradoxales qui ont été identifiées se présentent comme suit :

 

q = 17   j = 27 :   12 séquences, avec  2 < dI < 12

q = 29   j = 46 :   55 séquences, avec  2 < dI < 104

q = 41   j = 65 :   62 séquences, avec 12 < dI < 194

q = 46   j = 73 :   18 séquences, avec   2 < dI < 42

 

Il faut noter que les trois premiers q correspondent à des « records » concernant e. (Les records sont des  q  pour  lesquels e  passe  par  des  minima  successifs,  dont  chacun  est  plus  petit  que  les  précédents). Le quatrième cas n’en est pas très éloigné. La détermination des records a été faite, mais n’est pas exposée dans ce document. Signalons seulement qu’elle est liée aux suites de Farey.

A mesure qu’on augmente q, les séquences paradoxales vont en se raréfiant, mais il n’est pas démontré qu’il n’y en aura plus au-delà de q = 46.

 

Cette investigation numérique conduit à une interrogation évidente : Pour les cas cités ci-dessus, on rencontre une très grande quantité de dI positifs. Par ailleurs, les séquences descendantes étant beaucoup plus nombreuses, on peut s’attendre à une quantité encore bien plus grande de dI négatifs. Par contre, on ne trouve jamais de dI nuls, qui donneraient des cycles. Ce phénomène semble trop net pour être dû au seul hasard, car on ne voit pas pourquoi le numérateur de la formule (5) aurait moins de chances d’être divisible par D que le nombre E seul.  

Pour répondre à cette question, il faut revenir au chapitre « analyse de la divisibilité » exposé plus haut. On y a vu que la probabilité pour qu’un q donné fasse apparaître un cycle s’exprime par :    P / D , le numérateur étant choisi égal à P pour tenir compte du fait que s’il y a une divisibilité, il y en a forcément q. Cette particularité n’existe pas pour les autres types de séquences, qu’elles soient descendantes ou paradoxales. Pour ces cas, il faut admettre que toutes les N valeurs de E sont à loger à la même enseigne, ce qui conduit à la probabilité : pq = N / D . La probabilité de la divisibilité exprimée par la formule (5) relative aux séquences paradoxales est donc q fois plus élevée que celle exprimée par la formule (2) relative aux hypothétiques séquences cycliques. Cela explique la relative abondance des séquences paradoxales, alors que les cycles restent jusqu’ici introuvables.

 

Notion de famille :

Selon la formule (1), J est une expression linéaire de I, mais limitée aux entiers impairs. On peut faire apparaître une infinité de couples I, J satisfaisant cette formule (1), q, j et E étant fixés. Pour partir d’un exemple simple, soit le parcours déjà cité qui va de  I = 7 à  J = 5  en passant par 11, 17, 13, on a :

 

q = 4   j1 = 1   j2 = 1   j3 = 2   j4 = 3   j = 7

 

Ce qui donne :  E = 33 + 2.32 + 22.3 + 24 = 73 , avec, comme fonction de J :

 

J = (73 / 128) + (81 / 128) . I

 

La première valeur de I étant I0 = 7, posons pour les autres : In = 7 + m, soit : Jn = 5 + (81 / 128) . m

Jn devant être impair, le deuxième terme doit être pair, ce qui impose : m = 28.n

On trouve donc successivement :

 

 

I = 7 , 263 , 519 , 775 …. 7 + 28.n

J = 5 , 167 , 329 , 491 …. 5 + 162.n

 

Soit, plus généralement :

                                               In = I0 + 2j+1.n     

                                              Jn = J0 + 2.3q.n    

 

I0 et J0 étant les « termes de base » de la famille correspondant à n = 0. On voit immédiatement qu’on a :

     I0 < 2 j+1     et      J0 < 2.3q

 

Si on est en présence d’une séquence descendante classique, soit I0 - j0 > 0 , chaque fois que n augmente de 1, la différence I - J augmente de (2j+1 - 2.3q), soit 2.D. 

En conséquence, plus on augmente n, plus la séquence est descendante et donc plus on s’éloigne d’un cycle. Pour qu’il y ait un cycle, il faut donc ;

-         Soit que ce cycle se présente dès la séquence de base (n = 0).

-         Soit que la séquence de base soit paradoxale, avec J0 - I0 = 2.n.D, de telle sorte que le cycle apparaisse à la nème séquence.

 

Nous admettrons :

 

Hypothèse 5 :

Un cycle ne peut s’envisager que dans le cadre d’une séquence de base, soit pour : I0 < 2 j+1

 

En effet, les cas de séquences paradoxales rencontrées dans la réalité rendent très peu vraisemblable la deuxième possibilité. Exemple : q = 17   j = 27 , qui donne D = 5077565.

Cette combinaison donne lieu à quelques séquences paradoxales, la plus accentuée faisant passer de 581 à 593, soit une croissance de 12, alors qu’il faudrait 2.D = 10155130 pour que la séquence suivante soit un cycle.

On voit qu’on n’est pas du tout dans les mêmes ordres de grandeur, ce qui ne suffit pas à démontrer rigoureusement l’hypothèse 5, mais la rend hautement probable.

 

Démonstration de l’hypothèse 1 :

Supposons qu’il existe une divisibilité telle que E / D = k, k étant différent de I. On a alors : E = k . D, et la formule (1) devient :

                                          J = ( k . D / 2 j ) + (3 q . I /  2 j )

 

En remplaçant D par sa valeur : ( 2 j - 3 q ), l’expression devient :  J = k + [ 3 q . ( I - k ) / 2 j ]

 

I, J et k ont nécessairement en commun d’être des entiers impairs et non divisibles par 3, il s’ensuit qu’on doit avoir :

                              ( I - k ) = n . 2 j , ce qui donne :  J = k + 3 q . n  ,   n devant être un entier pair.

 

Si on a : n = 0 ,  on est ramené à la formule (2) avec k = I = J.  On a bien un cycle.

 

La question qui se pose alors est : n peut-il être différent de 0, la plus petite valeur possible étant alors 2, ce qui donnerait  :

                                  ( I - k ) = 2 j+1  , soit : I = 2 j+1 + k  ,   et  J = 2 . 3 q + k

 

On n’a donc plus un cycle, puisque I et J ne sont plus égaux, mais respectent la relation :  I - J = 2 . D

Si on se réfère à la notion de famille vue plus haut, on voit qu’on n’est pas dans une séquence de base, mais dans la suivante (n = 1). Si on redescend à la séquence de base, on sait qu’il faut diminuer (I - J) de 2 . D, ce qui nous ramène à (I - J) = 0. On pourrait faire le même raisonnement pour les n supérieurs.

On arrive à la règle suivante :

 

S’il existe une divisibilité E / D = k, ce quotient est tel que (I - k) = n . 2 j , n étant un entier pair, zéro compris. Si on a n = 0 , la séquence considérée est un cycle. Si on a n > 0 , ce n’est pas le cas, mais il apparaît toujours un cycle quand on descend à la séquence de base.

 

Cette particularité étant prise en compte, on peut dire que, si on a la divisibilité E / D, il existe toujours un cycle, ce qui établit la partie « condition suffisante » de la formule (2).

Au passage, on a également démontré l’hypothèse 5.

 

Démonstration de l’hypothèse 2 :

Rappelons que cette hypothèse consiste à admettre qu’un cycle ne peut s’envisager que si, pour un q donné, on a :

                      j = q.r + q.e  ,   e étant le plus petit possible, tout en étant positif.

 

Exemple : pour q = 5 ,  j = 8, avec e = 0,015

 

Si on passe aux j suivants, on a : j = q.r + q.e + k ,  soit sensiblement : j = q.r + k

(e étant de plus en plus négligeable quand on va vers les q élevés)

 

On a alors :  2 j = 2 k. 3 q    (en appliquant : 2 q.r = 3 q)

 

Ce qui donne finalement :  D = (2 j - 3 q )  > (2 k - 1) . 3 q

 

Soit, dans le cas le moins invraisemblable, donc pour k = 1 : D > 3 q

 

Comme la condition pour qu’on ait un cycle s’exprime :  E = D . I    ou  I = E / D ,

 

Cette condition devient :  I = E / 3 q  ,   ou E / I = 3 q

 

Il reste à montrer qu’en restant dans l’hypothèse d’un cycle, cette égalité ne peut pas être vérifiée.

On peut tenter de le faire en gardant à l’esprit que la formule : I = E / D doit être vérifiée pour tous les points du cycle, et notamment pour le point le plus bas.

Considérons le cycle d’amplitude minimum, en nous référant au cas fictif pour lequel on a :

                                                                                                                                         

Iv = 1 / (2 j/q - 3) , avec : j / q = r + 1 / q  et 2 j/q = 3 . 2 1 / q

 

Ce qui donne : Iv = 1/ [ 3 . (2 1 / q - 1)]

 

1 / q étant un très petit nombre, on peut admettre l’approximation :  2 1 / q - 1 = Ln (2) / q

 

Ce qui conduit, après calcul et approximation, a : Iv = 0,48 . q

Cette valeur peut être considérée comme voisine de la moyenne des I pour un cycle, quelle qu’en soit l’amplitude.

On peut considérer sans risque de grosse erreur que le cycle se compose d’une partie située au-dessus de Iv et une partie au-dessous, et que ces deux parties sont voisines en nombre de I, soit q / 2 de chaque côté.

Iv étant défini, le nombre maximum de I possibles entre Iv et 0 est égal à 0,16 . q / k . En effet, I n’étant divisible ni par 2 ni par 3, apparaît statistiquement une fois sur trois parmi les entiers.

Il n’est donc pas possible de loger un demi cycle représentant q / 2 nombres dans un ensemble de I envisageables qui en représente beaucoup moins, même pour k = 1 . Pour les k supérieurs, c’est encore plus vrai.

Notons par ailleurs que nous avons fait l’hypothèse que les I peuvent descendre jusqu’à 0, ce qui est très optimiste, puisqu’on sait qu’un I ne peut appartenir à un cycle que s’il est supérieur à 10 18 .

 

L’impossibilité de trouver un cycle pour j > (q . r) + e  est donc vérifiée.

 

Commentaire sur l’hypothèse 3 :

Si on pouvait considérer E comme aléatoire parmi les nombres qui ne sont divisibles ni par 2 ni par 3, sa probabilité de divisibilité par D serait égale à 1 / D. En effet :

Cette propriété est évidente pour l’ensemble N1 des entiers.

Si on considère l’ensemble N2 des entiers pairs, elle est vraie également, puisque si on divise par 2 tous les éléments de N2, on retombe sur l’ensemble N1.

On peut raisonner de même pour l’ensemble N3 des nombres divisibles par 3, et pour l’ensemble N6 des nombres divisibles par 6.

L’ensemble N23 des nombres non divisibles par 2 ni par 3 est constitué de N1 auquel on enlève N2 et N3 et auquel on rajoute N6. La probabilité 1 / D étant vraie pour toutes les composantes de l’opération, elle l’est également pour le résultat, soit N23.

 

Dans la réalité, le problème est plus complexe, car ni E ni D ne sont parfaitement aléatoires. La vraie question qui se pose est donc : un nombre E créé par une des N formules (1’) relatives à une combinaison (q, j) a-t-il plus ou moins de chances d’être divisible par D qu'un nombre choisi au hasard ?

Nous arrivons au concept d’« aléatoirité conditionnelle » dont l’énoncé général pourrait être :

Etant donné deux nombres A et B créés par deux algorithmes spécifiques, et une relation R considérée comme une condition devant être respectée par A et B, l’aléatoirité conditionnelle résultante peut s’exprimer par le quotient de deux probabilités, soit Ac = Pc / Pa , avec :

 

Pa : probabilité pour que R soit respectée si A et B sont parfaitement aléatoires.

Pc : probabilité pour que R soit respectée si A et B sont créés par leurs algorithmes spécifiques.

 

Dans le cas présent, la condition R est la divisibilité d’un des nombres par l’autre. 

On a vu par ailleurs qu’on bénéficie d’une très forte tolérance concernant Ac, qui pourrait comporter un grand nombre de puissances de 10 sans que les résultats présentés soient remis en question.

 

Il peut être intéressant de voir ce que donne la distribution des E dans un cas précis, par exemple la combinaison (q = 5 , j = 8). Voici les 35 chiffres, par ordre croissant :

 

211   227   251   259   283   287   319   323   331   341   347   367   373   383   395   421   431   437

      16     24     8      24      4      32       4       8      10     6      20      6       10     12     26    10      6       2

 

439   485   491   493   503   527   557   581   599   601   653   665   743   761   797   905   1121

      46     6       2      10      24     30     24    18      2      52      12     78     18     36    108   216

 

( Les chiffres en italique sont les différences entre deux E consécutifs)

 

On voit que cette distribution a une allure plutôt erratique, ce qui n’est pas surprenant, puisqu’on ne peut faire apparaître aucune fonction analytique passant par ces nombres. Elle semble peu différente d’une distribution qui découlerait du hasard pur.

Nous avons donc une forte présomption pour que la probabilité de divisibilité de E par D soit proche de 1 / D, voire même égale.

Mais présomption n’étant pas démonstration, une investigation sur le thème de l’aléatoirité conditionnelle serait utile pour faire disparaître ce qui est sans doute le dernier point d’incertitude.

 

 

 

 

 

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