CONJECTURE  DE  SYRACUSE

 

          ABSENCE  DE  SEQUENCES  DIVERGENTES

 

 

Dans cette étude, l’algorithme de base choisi pour passer d’un terme d’une suite de Syracuse au terme suivant est :

 

                   In+1 = (3.In + 1) / 2 j   (In étant un impair, l’exposant j est tel que In+1 est aussi un impair.)

 

On nomme itération une application de cet algorithme.

 

On nomme séquence q applications successives de cet algorithme.

(Une séquence peut être définie par une succession de ses termes impairs.)

 

On nomme divisibilité totale pour une séquence le nombre j, addition des q exposants j des itérations de cette séquence :

                                 j = j1 + j2 + j3 …. + jq      

 

Une séquence divergente est telle que I0 étant fini,  q, j, et Iq sont infinis.

 

Un cycle est une séquence où on a : Iq = I0     (I0, q, and Iq sont finis)

(Le cycle « trivial » se compose d’une seule itération pour laquelle on a : I1 = I0 = 1)

 

Il est généralement admis, et assez évident, qu’une séquence poussée aussi loin que possible et qui n’aboutirait pas à 1 peut se présenter de deux façons :

-         Elle est divergente, c’est-à-dire qu’elle part d’un nombre I0 fini et comporte un nombre infini de termes qui deviennent eux-mêmes infinis.

-         Elle aboutit à un cycle non trivial composé d’un nombre fini n de termes, chacun de ces termes revenant systématiquement avec une périodicité n quand on étend ce parcours, tant vers l’amont que vers l’aval.

La présente étude traite du problème des séquences divergentes. Elle tend à montrer qu’elles ne peuvent pas exister.

 

Notion de réseau d’itérations :

On peut établir ce réseau en partant du chiffre 1 placé en haut et à droite, et en « remontant le courant » de façon à  faire apparaître toutes les itérations possibles. Dans le sens normal, ces itérations se parcourent de gauche à droite et de bas en haut . On trouvera pour chacune d’elles, à partir de son nombre impair de départ :

-         Un segment vertical matérialisant l’opération (3 . x + 1)

-         Un certain nombre de segments horizontaux dont chacun représente une division par 2, ces divisions étant répétées jusqu’à ce qu’on arrive à un nouvel impair.

On peut ainsi construire un tableau analogue à un réseau hydrographique tracé à partir de son embouchure finale (le nombre 1), et remontant vers une infinité de sources rejetées à l’infini.

Tous les segments horizontaux (divisions par 2) sont de même longueur.

Par contre, pour la clarté du tableau, les segments verticaux ont des hauteurs variables, bien qu’ayant tous la même signification à savoir l’opération (3.x + 1). Ils sont matérialisés par des colonnes d’étoiles.

Ce tableau se présente comme suit :

  8192   4096   2048   1024    512    256    128     64     32     16      8      4      2      1   

                  *                    *                   *                 *                *

*****   1365                   *                   *                 *                *

                                        *                   *                 *                *

  2728   1364     682     341                                     *

                              *                                                *                  

    908      454    227                                                                                   *                                                                                     

                    *                                                       

    302      151                                       *                                                                            

                                                             *                                                                                                        

  2720    1360    680    340     170       85                                                   *

                    *                  *

    *****  453                  *       

                                        *    

904      452    226     113                                                                         *

    *                  *                                                 *                                               

     301                  *                                                 *                                                                             

                             *                                                 *

            ******* 75                               *******  21                *

                                                                                                  *

  2560     1280    640    320    160     80     40      20      10       5                *                     

                               *                  *                *                  *

        ********* 213                  *                *                  *                

                                                   *                *                  *

    848       424    212    106      53                                                               *

                     *                 *

      ***** 141                 *

                                      

    280        140      70     35                                                                         *

                                *

      92          46      23                                                                                  *

                                                                     *

       ****** 15                                             *

                                                                     *

     832       416    208    104     52      26    13                                             *

                                *                 *

         *********   69                 *              

                                                   *

     272       136      68      34     17                                                               *

                      *                  *

         ***** 45                  *

                                          *

       88         44       22      11                                                                       *

                                 *

       28         14         7                                                       *

         *                                                                               *

         9                                                                               *

                                                       ***************** 3                        *

                                                                                                                    *

                                                                      ………….   8      4       2       1                                                                                                                                

On peut faire sur cette arborescence les remarques suivantes :

Toutes les lignes sont formées de nombres en progression géométrique de raison 2 vers la gauche. Elles démarrent toutes à partir d’un nombre impair que nous nommerons « tête de ligne » (1 pour la première).

La majorité des lignes présentent des nombres de la forme (3.n + 1) , qui donnent lieu à des débranchements. Les débranchements interviennent une fois sur deux.

Certaines lignes ne présentent aucun débranchement : celles dont tous les nombres sont des multiples de 3. Elles sont représentées par des lignes repérées : *********. On peut en tirer un théorème simple :

 Un impair multiple de 3 peut constituer le point de départ d’une séquence, mais ne peut jamais se rencontrer en cours de séquence.

 

Séquences à fort potentiel de croissance :

Nous désignerons ainsi les séquences les plus susceptibles d’être « montantes à l’infini », et nous montrerons que même ces séquences ne peuvent pas être indéfiniment montantes.

Nous rechercherons pour cela les types d’itérations présentant un nombre minimum de divisions par 2, et admettrons qu’une séquence à fort potentiel de croissance doit être constituée uniquement d’itérations de ce type.

A l’évidence, une telle séquence ne peut pas être « fabriquée » dans le sens classique amont-aval, car le processus de génération d’une séquence est alors parfaitement déterministe ; on n’a donc aucune possibilité de maîtrise des itérations successives. Il faut donc créer la séquence par l’aval, comme on l’a fait pour le tableau des itérations, en faisant en sorte que chaque itération comporte un nombre minimal de divisions par 2 (qui deviennent des multiplications).

En s’inspirant du tableau des itérations ci-dessus, on voit rapidement qu’on peut faire apparaître quatre cas bien distincts, illustrés par les schémas ci-dessous, relevés sur ce tableau :

 

Cas (a) : I = 7 ; J = 11 ; j = 1                       22 – 11

                                                                     

                                                                      7

 

Cas (b) : I = 17 ; J = 13 ; j = 2                      52 – 26 – 13

                                                                      

                                                                       17

 

Cas (c): I = 301 ; J = 113 ; j = 3                    904 – 452 – 226 – 113

                                                                                         

                                                                       301               75

 

Cas (d) : I = 37 ; J = 7 ;  j = 4                        112 – 56 – 28 – 14 – 7

                                                                                      

                                                                        37              9

 

Les cas (a) et (b) sont les plus banals. Qu’ils soient deux s’explique par le fait que le premier débranchement à l’amont de J intervient tantôt après une multiplication par 2, tantôt après deux.

Les cas (c) et (d) interviennent quand un débranchement débouche sur un multiple de 3. Il faut alors le sauter et aller au suivant (Voir Théorème ci-dessus )   

On est donc en présence d’une variété modérée et donc maîtrisable, tout en travaillant sur les séquences présentant le plus de chances de diverger, puisqu’on minimise systématiquement le nombre de divisions par 2. Ces séquences ne sont nullement des cas fictifs : quand on en a créé une, on peut ensuite la dérouler dans le sens normal en étant certain qu’on retombera sur les mêmes nombres.

Sur ces quatre cas, seul le premier est croissant. Les trois autres sont de plus en plus décroissants à mesure que le nombre de divisions par deux s’accroît. Comme nous sommes à la recherche du plus fort potentiel de croissance, il faut donc essayer en priorité (a), puis (b) si (a) ne marche pas, puis (c), puis (d).

 

Analyse d’une itération quelconque :

Problème posé : A partir d’un nombre J1 choisi au hasard, faire apparaître les conditions d’apparition des quatre cas, avec les probabilités correspondantes. Rappelons qu’on part du terme J de cette itération (qui est en fait la dernière en aval). Dans un premier temps, la seule contrainte qu’on puisse mettre dans tous les cas sur ce terme de départ est qu’il ne soit divisible ni par 2, ni par 3, ce qui implique qu’il soit de la forme :  (1 + 6.a)  ou de la forme :  (5 + 6.a). Considérons successivement les deux familles qui en découlent :

 

            Famille A : J1 = 1 + 6.a

 

Cas (a) et (c) : il faut que l’expression (2.J1 - 1) soit multiple de 3.

Elle peut s’écrire : (1 + 12.a), expression qui n’est jamais divisible par 3.

       Le cas (a) ne peut donc pas exister dans cette famille. Par voie de conséquence, le cas (c) non plus.

 

            Cas (b) et (d) : il faut que l’expression (4.J1 - 1) soit multiple de 3.

           Elle peut s’écrire : (3 + 24.a), expression qui est toujours divisible par 3, ce qui donne (1 + 8.a) pour le cas (b) , auquel cas cette expression n’est divisible que par 3. On tombe sur un cas (d) quand elle est divisible par 9, soit une fois sur 3. On arrive, pour le cas (b), au tableau suivant :

 

a :      0            2     3              5     6              8     9 …………..

 

I1 :     1           17    25           41    49           65    73

 

Pour le cas (d), l’expression I1 = J2 devient : (16.J1 - 1) / 3, soit : (5 + 32.a) :

 

a :             1                     4                      7 ................

 

I1 :           37                 133                   229

 

            Pour cette famille, les probabilités d’apparition des cas sont donc : 0 pour (a), 2/3 pour (b), 0 pour (c), et 1/3 pour (d).

 

            Famille B : J1 = 5 + 6.a

 

            Si on refait le même raisonnement, on tombe sur des résultats complémentaires, soit  :

 

Pour (a)    a :                   1     2                  4     5            7     8 ….            probabilité : 2/3

 

Pour (c) :  a :         0                        3                       6              ….            Probabilité : 1/3

 

            Si on regroupe maintenant les deux familles, on aura donc en définitive pour cette première itération les probabilités :

                                              2/6 pour (a) , 2/6 pour (b) , 1/6 pour (c) , 1/6 pour (d) .

 

Intuitivement, on peut penser que cette analyse est applicable à toutes les itérations qui se succèdent dans une séquence à fort potentiel de croissance, ce que nous admettrons pour le moment (voir confirmation en annexe.).

 

Rapport moyen introduit par une itération :

Compte tenu du fait que nous travaillons dans une zone de nombres très élevés, nous admettrons aussi que l’incidence de l’unité ajoutée  à chaque itération est négligeable.

Pour les différents cas rencontrés, les rapports sont donc :

 

Cas (a) :  3/2    Cas (b) :  3/4   Cas (c) :  3/8   Cas (d) :  3/16

 

Pour obtenir l’espérance mathématique Er de rapport, il faut multiplier chacun de ces chiffres par la probabilité d’apparition du cas correspondant, et faire la somme des résultats, ce qui donne :

 

 Cas (a) : 3/2 . 2/6 = 1/2 

 Cas (b) :  3/4 . 2/6 = 1/4  

 Cas (c) :  3/8 . 1/6 = 1/16  

 Cas (d) :  3/16 . 1/6 = 1/32

 

La sommation des valeurs partielles donne :  Er = 27/32 = 0,84375     

 

Statistiquement, pour les séquences considérées, chaque itération introduit donc un rapport nettement inférieur à 1. 

Faisons l’hypothèse d’une séquence infinie. Dans un tel cas, la loi statistique s’applique rigoureusement, ce qui signifie qu’une telle séquence ne peut être que globalement descendante, et donc finie.

Il est ainsi démontré par l’absurde qu’une séquence à fort potentiel de croissance ne peut pas diverger. A fortiori, il en est de même pour toutes les autres séquences.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                        ANNEXES

 

Justification du raisonnement statistique :

Comme nous construisons les séquences en remontant vers l’amont, il est logique de se poser la question :

Quand on met en place une itération i(n+1) précédant une itération in, la répartition entre les quatre cas concernant l’itération i(n+1) est-elle la même que pour une itération prise au hasard, ou dépend-elle du cas qui est celui de l’itération in ?

La seule façon de répondre à coup sûr à cette question est d’explorer systématiquement les répartitions statistiques qu’on va rencontrer avant un cas (a), un cas (b), un cas (c), un cas (d).           

Nommons I1 et J1 le début et la fin de l’itération in, et I2 et J2 le début et la fin de l’itération i(n+1). On a bien entendu : J2 = I1

 

Si in est un cas (a), on a : J1 = 5 + 6.a

                                        J2 = (2.J1 - 1) / 3 = (9 + 12.a) / 3 = 3 + 4.a

 

On tombe sur un autre cas (a) si : (2.J2 - 1) = (5 + 8.a) est divisible par 3 et pas par 9, soit :

 

a :                              2                              8                 11                           17  ….   

                                                                                                                             Probabilité : 2/3

I2 : (5 + 8.a) / 3 =      7                             23                31                           47  ….

                                                                      

On tombe sur un cas (c) si (5 + 8.a) est divisible par 9, soit :

 

a :                                    5                                                  14  ….                

                                                                                                                            Probabilité : 1/3

I2 :  (23 + 32.a) / 3 =     61                                                157        

 

On tombe sur un cas (b) si (4.J2 - 1) = (11 + 16.a) est divisible par 3 et pas par 9, soit :      

 

a :                                                 4             7                             13            16  …. 

                                                                                                                                           Probabilité : 2/3

I2 : (11 + 16.a) / 3 =                   25            41                           73             89   

 

On tombe sur un cas (d) si (11 + 16.a) est divisible par 9, soit :

 

a :                                 1                                            10                                            19 ….       

                                                                                                                                           Probabilité : 1/3

I2 = (47 + 64.a) / 3 =  37                                          229                                          421 

 

 

            Si in est un cas (b),  on a : J1 = 1 + 6.a

                                                       J2 = (4.J1 - 1) / 3 = (3 + 24.a) / 3 = 1 + 8.a

 

On tombe sur un cas (a) si : (2.J2 - 1) = (1 + 16.a) est divisible par 3 et pas par 9, soit :

 

a :                                 2               8                                 20            26  ….

                                                                                                                                           Probabilité : 2/3

I2 = (1 + 16.a) / 3 =    11             43                               107           139   

 

On tombe sur un cas (c) si (1 + 16.a) est divisible par 9, soit :

 

a :                                                                    14                                              32 

                                                                                                                                       Probabilité : 1/3

I2 = (7 + 64.a) / 3 =                                       301                                            685 

 

On tombe sur un cas (b) si (3 + 32.a) est divisible par 3 et pas par 9, soit :

 

a :                                 0                                  6            9                                    15  ….

                                                                                                                                         Probabilité : 2/3

I2 = (3 + 32.a) / 3 =     1                                  65          97                                  161   

 

On tombe sur un cas (d) si (3 + 32.a) est divisible par 9, soit :

 

a :                                                  3                                                 12  ....

                                                                                                                                       Probabilité: 1/3

I2 = (15 + 128.a) / 3                   133                                              517  .....

 

 

Si in est un cas (c), on a : J1 = 5 + 6.a

                                         J2 = (8.J1 - 1) / 3 = (39 + 48.a) / 3 = 13 + 16.a

 

On tombe sur un cas (a) si (2.J2 - 1) = 25 + 32.a est divisible par 3 et pas par 9, soit :

 

a :                                      1                     7              10                       16              19 …

                                                                                                                                         Probabilité : 2/3

I2 = (25 + 32.a) / 3) =      19                   83            115                     179            211 …

 

On tombe sur un cas (c) si (25 + 32.a) est divisible par 9, soit :

 

a :                                                   4                                           13 …      

                                                                                                                                          Probabilité : 1/3

I2 = (103 + 128.a) / 3 =              205                                        589 …

 

On tombe sur un cas (b) si (4.J2 - 1) = 51 + 64.a est divisible par 3 et pas par 9, soit :

 

a :                                       0                         6               9                       15 ...

                                                                                                                                        Probabilité : 2/3

I2 = (51 + 64.a) / 3 =        17                     145            209                    337 ...

 

On tombe sur un cas (d) si (51 + 64.a) est divisible par 9, soit :

 

a :                                                    3                                         12 ...

                                                                                                                                        Probabilité : 1/3

I2 = (207 + 256.a) / 3 =                325                                      1093 ...         

 

Si in est un cas (d), on a : J1 = 1 + 6.a

 

                                          J2 = (16.J1 -1) / 3 = (15 + 96.a) / 3 = 5 + 32.a

 

On tombe sur un cas (a) si (2.J2 - 1) = 9 + 64.a est divisible par 3 et pas par 9, soit :

 

a :                                     3          6                              12         15 ...

                                                                                                                                     Probabilité : 2/3

I2 = (9 + 64.a) / 3 =       67        131                          259       323 ...

 

On tombe sur un cas (c) si (9 + 64.a) est divisible par 9, soit :

 

a :                                   0                                       9                                         18 …

                                                                                                                                      Probabilité : 1/3

I2 = (39 + 256.a) / 3 =  13                                    781                                      1549 …

 

On tombe sur un cas (b) si (4.J2 - 1) = 19 + 128.a est divisible par 3 et pas par 9, soit :

 

a :                                   1               7                             19              25 …

                                                                                                                                      Probabilité : 2/3

I2 = (19 + 128.a) / 3 =  49             305                          817           1073 …

 

On tombe sur un cas (d) si (19 + 128.a) est divisible par 9, soit :

 

a :                                                                   13                                          31 …

                                                                                                                                      Probabilité : 1/3

I2 = (79 + 512.a) / 3 =                                 2245                                      5317 …

 

 

On constate en définitive que la répartition observée pour la première itération se retrouve bien pour la deuxième, et ceci quel que soit le cas rencontré dans la première. Il en sera donc de même pour les itérations suivantes.

On aurait pu se dispenser de calculer systématiquement les termes I2. Il était toutefois intéressant de le faire pour confirmer la cohérence et permettre des vérifications numériques.               

 

Cas des séquences qui ne comportent que des itérations (a ) :

On sait par expérience que de telles séquences existent. Rappelons comment on peut créer une séquence de q itérations (a), en partant cette fois dans le sens classique amont-aval :

On part du premier terme :

                                           I0 = 2q+1 - 1   On a pour les termes suivants :

 

                                           I1 =  [3.(2q+1 -1) + 1] / 2 = (3.2q ) - 1

 

                                           I2 = [3.(3.2q -1) + 1] / 2 = ( 32.2q-1 ) - 1                                 

                                                                         ………………

 

                                            Iq =                                  (3q  . 2) - 1

 

Quelques remarques :

Le terme suivant serait pair, ce qui limite bien la séquence à q itérations.

I0 est divisible par 3 quand q est impair, mais ce n’est pas prohibitif, car si un multiple de 3 ne peut pas se rencontrer au cours d’une séquence, il peut se rencontrer au début.

Une séquence ainsi définie peut être la séquence de base de toute une famille, les premiers termes étant en progression arithmétique de raison 2q+1, et les derniers en progression arithmétique de raison 2.3q.

 

La question fondamentale qui se pose est évidemment : une telle séquence peut-elle être divergente ? Oui à première vue, avec q infini, mais pas au sens qui a été donné dans les définitions, à savoir qu’on part d’un I0 fini. Or, si q est infini, I0 l’est encore bien plus, puisque q y figure en exposant.

Il n’y a donc pas de contre exemple à craindre dans ce domaine.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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