SERIES  ALTERNEES  DIVERGENTES

 

 

On s’intéressera ici aux séries de type :

 

S  =  s1  -  s2  +  s3  -  s4   …….   +/- sx 

 

Dans lesquelles tous les termes, dont le nombre est infini, s’inscrivent dans une même fonction ne présentant pas de discontinuité, et développable en série de Taylor, que nous nommerons « fonction caractéristique », soit :

 

sx = a0 + a1.x + a2.x2/2! …   +   aq.xq/q!

 

Selon cette fonction caractéristique, on peut distinguer :

-  Les séries convergentes, dans lesquelles sx tend vers zéro.

-  Les séries « dents de scie », dans lesquelles sx tend vers une constante.

- Les séries divergentes, dans lesquelles sx croît constamment et indéfiniment.

- Les séries pseudo-convergentes, dans lesquelles sx commence par décroître, puis se met à croître indéfiniment. (Séries très fréquemment rencontrées avec les nombres de Bernoulli, et notamment dans l’utilisation de la formule sommatoire d’Euler-MacLaurin).

En règle générale, les valeurs de sx sont toutes positives, mais il y a des exceptions que nous rencontrerons, notamment quand sx est une fonction trigonométrique.

 

Les séries convergentes sont les seules dont la sommation soit possible de façon évidente, puisqu’elles tendent vers une valeur asymptotique, ce qui permet de calculer S avec toute la précision qu’on souhaite, alors que les séries divergentes ont un comportement à première vue erratique.

Dans les formulaires, on trouve ainsi, (entre autres) :

 

1  -  x  +    -     …..   +/- xⁿ  =  1 / (1+x)           ( pour  -1 ˂ x ˂ 1 )

 

Montrant bien ainsi qu’on s’interdit les cas où x n’est pas dans l’intervalle de convergence de -1 à 1.

Certains mathématiciens, et non des moindres, ont même catégoriquement rejeté les séries divergentes, comme Abel qui les traitait d’ « invention du diable », et niait qu’on puisse en faire la moindre utilisation, bien qu’Euler fût déjà passé par là pour avancer le contraire.

 

En faveur des séries alternées non convergentes, on peut pourtant noter que certaines présentent bel et bien une valeur finie et parfaitement connue, par exemple les séries de Stirling qui interviennent dans le calcul des factorielles. Le calcul de 1!, notamment, fait apparaître :

 

b2 /2  +  b4 /12  +  b6 /30    …..   +  bq / q(q-1)  =  1 - Ln(2p) /2

 

Pour les séries de ce type, plutôt que parler de « somme à l’infini », notion difficile à concevoir, nous parlerons plutôt d’« attribution de valeur », et  nous proposerons donc ici de voir s’il est possible d’attribuer une valeur à une série non convergente, et comment.

 

Prenons comme exemple la série :

 

r2 =  b4.z(2)/12 + b6.z(4)/30 + b8.z(6)/56 … + ….bq.z(q-2)/q.(q-1) ]

 

Représentée graphiquement ci-dessous (redressée) :

Cette série est de type pseudo-convergent, mais les raisonnements qui suivent sont valables pour n’importe quel autre type.

La représentation ci-dessus, que nous nommerons « diagramme en ligne brisée », fait nettement apparaître des points hauts définissant une enveloppe supérieure, et des points bas définissant une enveloppe inférieure. Dans le cas d’une série pseudo convergente, les deux enveloppes présentent une forme « en tuyère », avec un col au milieu duquel se situe la valeur de la série.

Si on s’arrête sur l’enveloppe supérieure, la série peut s’exprimer comme suit :

 

S(x)  =  s1  +  s2  +  s3  +  s4   …………        +  sx       ( x impair )

          - 2 [      s2            +  s4   …… +  sx-1    ]

 

Si on s’arrête sur l’enveloppe inférieure, on aura:

 

I(x)  =  s1  +  s2  +  s3  +  s4     ………  +  sx                 ( x pair )

         - 2 [      s2  +  s3  +  s4    ……….  +  sx ]

 

On peut démontrer que :

S(x) et I(x) sont interpolables en fonctions continues (quasi-évidence, ces fonctions résultant de sommes de termes s)

Ces deux fonctions sont symétriques par rapport à un axe horizontal.

 

L’ordonnée de cet axe horizontal, que nous considèrerons comme la valeur de la série S peut être calculée à partir des coefficients tayloriens de la fonction caractéristique, à savoir :

 

S = a0/2 + a1. [(b2 /2!) (22-1)] + a3. [(b4 /4 !) (24-1)] + a5. [(b6 /6!) (26-1)] +…. (1)

 

Le terme courant étant :  an. [(bn+1 /(n+1)!)) (2n+1-1)]

 

Voir démonstrations plus loin (Les nombres de Bernoulli expliquent l’absence des termes an pairs.)

 

L’expression S peut être calculée dans un certain nombre de cas :

- Quand elle correspond au développement d’une fonction analytique connue.

 - Numériquement dans le cas contraire. Il faut pour cela :

-  Que les coefficients a soient connus.

- Qu’ils ne soient pas trop divergents, notamment qu’ils ne comportent pas de factorielles, faute de quoi l’expression S n’est pas convergente.

 

Etablissement de la symétrie des enveloppes S(x) et I(x) :

A priori, la fonction S(x) n’est définie que pour les termes impairs, et la fonction I(x) que pour les termes pairs. Nous admettrons ici que, s’agissant de fonctions continues (même si on n’en connaît pas les équations), S(x) a également des valeurs pour les termes pairs, et I(x) pour les termes impairs (valeurs généralement inconnues)

 

Désignons :

 

Q(x)  =  s1  +  s2  +  s3  +  s4   …….   +  sx           ( x pair ou impair )

            T(x)  =            s2            + s4……..    +  sx            ( si x est pair )

             T(x-1) =         s2            + s4 …….   +s(x-1)        ( si x est impair )

 

L’enveloppe supérieure s’exprime alors :   S(x)  =  Q(x) - 2 T(x-1)

Et l’enveloppe inférieure :                           I(x)  =  Q(x) - 2 T(x)

 

Si on admet que toutes ces expressions ont des valeurs pour tous les x, pairs ou impairs, on peut faire apparaître une valeur moyenne, pour un x donné :

 

M(x)  =  (1/2)  [ S(x)  +  I(x) ]  =  Q(x) - T(x) - T(x-1)

 

Etude de la fonction T :

 

On a :    T(0)  =  0

              T(2)  =  s2

              T(4)  =  s2  +  s4            =  T(2)  +  s4

              T(6)  =  s2  +  s4  +  s6  =  T(4)  +  s6

             ……………………………………

              T(x)                            =  T(x-2)  +  sx

 

T étant considérée comme une fonction continue, la propriété ci-dessus doit nécessairement s’étendre à ses valeurs impaires (même inconnues) :

 Soit :

    T(3)  =  T(1)  +  s3

                T(5)  =  T(3)  +  s5

             …….etc………

 

Calculons maintenant les valeurs successives de M(x) :

 

M(1)  =  Q(1) - T(1) - T(0)  =  s1 - T(1)

M(2)  =  Q(2) - T(2) - T(1)  =  (s1+s2) - s2 - T(1)  =  s1 - T(1)

M(3)  =  Q(3) - T(3) - T(2)  =  (s1+s2+s3) - (T(1) +s3) - s2  =  s1 - T(1)

            ……………………………………………………………….

On voit qu’on retombe systématiquement sur la même valeur, ce qui signifie :

            - Que les enveloppes supérieure S et inférieure I sont symétriques par rapport à un axe horizontal d’ordonnée s1 - T(1).

            - Qu’on peut admettre par convention, (mais aussi très logiquement), que le résultat recherché pour S est :

                                                           S  =  s1 - T(1)     (2)

 

            Cette démarche est indépendante du fait que la série S soit de type convergent ou pas. On peut donc envisager de lever l’interdit dont sont frappées les séries non convergentes, et en conséquence de leur attribuer une valeur. Cette valeur est facilement calculable dans les cas où T est analytique.

            On peut faire apparaître quelques variantes de cette formule :

 

S = - [T(-1)]      (2’)   obtenue à partir de M(0)

           

S = (1/2).S(0)   (2’’)   évidente dans la mesure où on a systématiquement I(0) = 0

 

S = (1/2).[s1 + I(1)]  (2’’’)   découle de S(1) = s1

 

            Les deux dernières formules supposent qu’on peut établir l’expression analytique des enveloppes, ce qui correspond vraisemblablement aux cas où on peut le faire pour T(x).

            On peut réunir l’ensemble des formules (2) sous l’appellation  générale « Approche par les enveloppes ».

 

 

Etude des séries d’entiers :  Sn = 1 - 2n + 3n - 4n …..+/- xn 

 

Examinons tout d’abord les séries :

Sn = 1 - 1/2ⁿ   + 1/3ⁿ  -  1/4ⁿ   ……  +/- 1/xⁿ

 

Celles-ci sont convergentes, ce qui permet de calculer facilement leur expression générale sans même passer par T(1), à savoir :

 

 Sn = z(n) . (1- 1/ 2n-1 )     (pour n˃1)

 

Notons au passage que cette formule, inversée, permet un calcul numérique facile des z impairs, soit :

                                               z (n) = [2n-1 / (2n-1 - 1)].Sn

 

            On peut traiter par analogie les séries d’entiers qui en sont l’équivalent en remplaçant n par -n. Sachant que la fonction z conserve une signification pour les n négatifs, on peut admettre que la valeur de ces séries s’exprime :

 

                                                Sn = z(-n) . (1 - 2n+1)

           

Mais on sait également que :

                                               z(-n) = - bn+1 / (n+1)

 

Ce qui conduit finalement à :

                                               Sn = ( bn+1 / n+1) . (2n+1 - 1)   (3)

 

            On peut noter que, les nombres de Bernoulli impairs étant nuls, les séries Sn sont également nulles pour tous les n pairs (à l’exception du cas n = 0 sur lequel nous reviendrons).

            Notons que, pour ces séries, les équations des enveloppes ne sont pas très difficiles à établir, ce qui permet également de calculer leur valeur à partir des formules de la famille (2)

            Les séries alternées d’entiers constituent une étape capitale, car c’est d’elles que découle la formulation des séries générales, comme on va le démontrer ci-après.

                 

            Démonstration de la formule (1) :

            La formule (3) ci-dessus va permettre d’établir la formule (1) :

            Présentons la série S sous forme de tableau :

 

 

 

 

S =  a0 + a1     +  a2/ 2!     +  a3/ 3!    + …….  an/ n!

    - (a0 + a1. 2 + a2. 22/ 2! + a3. 23/ 3! + …… an. 2n/ n!

    + a0 + a1. 3 + a2. 32/ 2! + a3. 33/ 3! + ….. . an. 3n/ n!

   ……………………………………………….

  +/- a0 + a1. q + a2. q2/ 2! + a3. q3/ 3! + ……an. qn/ n!

 

            En regroupant par colonnes, on trouve:

 

                a0  .      (1 - 1  +  1 -  1 … )  =  a0 / 2  

+  a1 .       (1 - 2  +  3 -  4 ….)  =  a1 .         (b2 / 2) . (22 - 1)

+( a3 / 3!) (1 - 23 + 33 - 43 …) = (a3 / 3!) (b4 / 4) . (24 - 1)

   …………………………………………

+ (an / n!) (1 - 2n + 3n - 4n …) = (an / n!) (bn+1 / n+1) . (2n+1 - 1)

 En regroupant les dénominateurs n! et n+1, on arrive bien au terme courant de la formule 1 :

an. [(bn+1 /(n+1)!)) (2n+1-1)]

 

            Rappelons que seuls existent les n impairs, ce qui a pour conséquence que des séries ne se différenciant que par leurs coefficients an pairs ont la même valeur. On en a un exemple simple avec les deux séries divergentes dont les termes courants sont respectivement :

 

                        ex -1 =  x + x2/2! + x3/3! + ….xn/n!

                        sh(x) =  x + x3/3! + x5/5! + ….xn/n!

 

            Au regard du problème étudié ici, à savoir la recherche d’une valeur à attribuer, on peut donc toujours remplacer une série donnée par une série équivalente ayant les mêmes coefficients impairs et des coefficients pairs différents, éventuellement nuls. Si on souhaite utiliser la formule 2, on obtiendra le même résultat avec toutes ces séries.

 

            Pour revenir au tableau ci-dessus, sa première ligne constitue un cas particulier, car il est clair qu’on ne peut pas éliminer le terme a0 / 2. Elle peut toutefois « rentrer dans le rang » si on considère que b1 n’est pas nul, mais qu’on lui donne la valeur 1/2, qui paraît la plus pertinente par ailleurs.

Cette valeur est confirmée si on considère qu’on a une série alternée du type « dents de scie » dont les enveloppes sont des horizontales d’ordonnées 0 et 1, et à laquelle on peut donc logiquement attribuer la valeur 1/2.

Cela ne va pas de soi, car cette série 1 - 1 + 1 - 1 ….( ou série de Grandi), apparemment anodine, est pourtant au centre d’une controverse, car elle semble susceptible de se voir attribuer une infinité valeurs différentes, ce qui ruinerait l’hypothèse selon laquelle une série alternée ne peut avoir qu’une seule valeur attribuée. La réfutation de cette objection fait l’objet du paragraphe suivant :

 

            Paradoxe de la série de Grandi :

            On peut considérer que cette série est basée sur les développements des fractions de type :

 F = (1+x+x2+x3 …. +xp) / (1+x+x2+x3 …. +xq)           

  (avec  p ˂ q et quand x→ 1)

 

En faisant varier p et q, on voit que F peut prendre toutes les valeurs rationnelles (p+1)/(q+1) comprises entre 0 et 1. Or, si on établit le développement d’une fraction F quelconque, soit par identification, soit par division euclidienne, on constate que ce développement ne comporte comme coefficients que des 1 et des 0, les 1 étant alternativement positifs et négatifs. Dès lors, il paraît normal d’éliminer les termes à coefficients 0, ce qui ramène tous les développements des fractions F à la série de Grandi, qui pourrait donc bien se voir attribuer une infinité de valeurs. Si on veut lever ce paradoxe, il faut à l’évidence une investigation plus approfondie, basée sur la non élimination des 0. Cet aspect a été noté il y a près d’un siècle par G. H. Hardy qui écrivait, en se référant à Euler :

             « Euler’s principle does not assign the sum 2/3 to 1 - 1 + 1 - 1 …. But to 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 … and there is no a priori reason for expecting the two series to have the same sum”. Par contre, Hardy ne semble pas avoir établi une relation mathématique claire entre la distribution des 0 et la valeur de la fraction génératrice, ce que nous allons tenter de faire dans les paragraphes qui suivent.

On étudiera pour cela différentes catégories de séries : série de base, séries équivalentes et séries apparentées.

 

-          Série de base :

Elle découle de la fraction la plus simple, soit :  1 / (1+x) 

On sait que son développement est :  1 - x + x2 - x3 …., soit pour x = 1 :

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 …. La fonction caractéristique se résume à sx = 1 et son développement à a0 = 1. La valeur attribuée de la série est donc bien :

S = a0 / 2 = 1/2

 

-          Séries équivalentes :

 On entend par là l’ensemble des séries pour lesquelles la fraction F comporte deux fois plus de termes au dénominateur qu’au numérateur, et qui ont donc toutes pour valeur 1/2 (toujours pour x=1).

La première de ces fractions est :  (1+x) / (1+x+x2+x3)

Développement correspondant : 1-x2+x4-x6 …, soit, en faisant x=1 et en remettant les coefficients 0 :  1 + 0 - 1 + 0 + 1 - 0 - 1…. Si nous considérons cette série comme une série alternée, ses termes s successifs sont identiques à cette suite de coefficients. La fonction caractéristique est assez évidente :

sx = sin(p/2).x  ,     dont les coefficients tayloriens utiles sont :

 

a0 = 0     a1 = p/2    a3 = - (p/2)3     a5 = (p/2)5  ….an = +/- (p/2)n

 

L’expression de S est donc :

                                                S =   (p/2) (b2/2!) (22-1)

                                                    -

 (p/2)3(b4/4!) (24-1)

                                                …………………….. 

                                                  +/- (p/2)n (bn+1/(n+1)!) (2n+1-1)

 

            Qu’on peut décomposer en deux séries :

 

            S1 = (2/p) [(b2/2!).p2 - (b4/4!).p4.+/- (bq/q!).pq]

 

      Et  S2 = (2/p) [(b2/2!).(p/2)2 – (b4/4!).(p/2)4.+/- (bq/q!).(p/2)q]

 

            Les développements entre [ ] sont connus, et valent respectivement :

           

                                   1 - (p/2) cot(p/2) = 1      et    1 - (p/4) cot(p/4) = 1 - p/4

Ce qui donne pour S :

                                   S = S1 – S2 = (2/p) [1 – (1 – (p/4)] = 1/2

 

            On peut conjecturer qu’il en serait de même pour les autres séries du même type, d’où leur nom de séries équivalentes.

            Jusque-là, il n’y a pas encore de paradoxe. Celui-ci va apparaître avec les autres séries, dites apparentées. Nous en citerons trois :

 

-          Série apparentée découlant de la fraction :  1 / (1+x+x2+x3)

Valeur attendue : 1/4.

Le développement donne :  1 - x + x4 - x5 + x6 – x7…. Soit pour x=1 :

 1 - 1 + 0 - 0 + 1 - 1 + 0 - 0 …. Les termes s successifs sont cette fois :

 1   1    0    0    1   1     0   0   1   1   0   0

On montre facilement que la fonction passant par l’ensemble de ces valeurs est :

sx = 1/2 + (√2 / 2) sin[(p/2).x - p/4]   dont les coefficients tayloriens sont :

 

a0 = 0    a1 = p/4    a3 = -p3/16    a5 = p5/64 ….     an = +/- pn/2n+1

 

Ce qui donne pour S :

S = p/4 (b2/2!) (22-1)

- p3/16 (b4/4!) (24-1)

………………….

+/- [pn / (2n+1)] [bn+1/(n+1)!] (2n+1-1)

 

            Expression qu’on peut encore décomposer en deux séries :

 

S1 = (1/p) [(b2/2!) p2 - (b4/4!) p4 …. +/- (bq/q!) pq]

 

                 et  S2 = - (1/p) [b2/2!)(p/2)2 - (b4/4!)(p/2)4 …. +/- (bq/q!)(p/2)q]

 

Les expressions entre [ ] sont les mêmes que pour le cas précédent. Il reste pour S :

 

S = (1/p) [1- (1- p/4)] = 1/4   

 

- Série apparentée découlant de la fraction : (1+x+x2) / (1+x+x2+x3) Valeur attendue : 3/4.

            Le développement donne :  1 - x3 + x4 – x7 + x8 ….soit pour x=1 :

            1 - 0 + 0 - 1 + 1 - 0 + 0 - 1 + 1 …..d’où les termes s successifs :

            1   0    0    1    1   0    0    1    1   0   0

            La fonction caractéristique satisfaisant à ces valeurs est :

 

            sx = 1/2 + (√2 / 2).sin[(p/2).x + p/4]

                                            dont les coefficients tayloriens sont les mêmes que pour le cas précédent, à l’exception de a0 qui vaut 1.

            Pour S, on peut donc reprendre la valeur précédente,  en lui ajoutant 

 a0/2 = 1/2, ce qui conduit bien à :

 

            S = 1/4 + 1/2 = 3/4   

 

-          Série apparentée découlant de la fraction : (1+x) / (1+x+x2)

 Valeur attendue : 2/3

            Le développement donne : 1 – x2 + x3 – x5 + x6 – x8 …soit pour x=1 :

            1 - 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + 1 - 0 - 1…..d’où les termes s successifs :

            1   0  -1   -1    0    1    1    0  -1

            La fonction caractéristique satisfaisant à ces valeurs est :

 

            sx = (2 / √3) sin[(- p/3).x + 2p /3]

                                                                       dont les coefficient tayloriens sont :

a0 = 1    a1 = (p/3)/√3    a3 = - (p/3)3/√3    a5 = (p/3)5/√3 …..  an = +/- (p/3)n/√3

 

            L’expression de S est donc :

                                                           S = 1/2

                                                              + (p/3)/√3 (b2/2!) (22-1)

- (p/3)3/√3 (b4/4!) (24-1)

………………………..

                                                            +/- [(p/3)n/√3] [bn+1/(n+1)!] (2n+1-1)  

La décomposition donne : 

 

S = 1/2 + (√3/p) [(b2/2!) (2p/3)2 - (b4/4!) (2p/3)4 …. +/- (bq/q!) (2p/3)q]

                          - (√3/p) [(b2/2!) (p/3)2 -  (b4/4!) (p/3)4  ….  .+/- (bq/q!) (p/3)q]       

 

            Les expressions entre [ ] valent cette fois :

 

            1 – (p/3). cot(p/3) = 1 - p√3/9   et   1 – (p/6). cot(p/6) = 1 - p√3/6

 

Ce qui conduit pour S à :

                                   S = 1/2 + (√3/p) [(1- p√3/9) - (1- (p√3/6)]

 

            Soit, après calcul : S = 2/3

 

            - Série apparentée découlant de la fraction :  (1+x+x2) / (1+x+x2+x3+x4)

Valeur attendue : 3/5

            Le développement donne : 1-x3+x5-x8+x10-x13 …. Soit pour x = 1 :

            1 - 0 + 0 - 1 + 0 + 1 + 0 - 0 - 1…. D’où les termes successifs :

            1   0    0    1    0  - 1    0   0   -1

                                                           Dont la présentation ci-dessous permet de visualiser approximativement la courbe qui les relie :

                     1               1                                      1                1

    

  (0)       0     0         0         0     0         0         0     0

   

                                    -1               -1

On voit assez nettement que cette courbe ne correspond pas à une sinusoïde pure. Un examen plus approfondi montre qu’elle se compose d’une fondamentale de période 5 et d’un harmonique 3 dont les équations sont :

 

l1.sin[(p/5).x]         et   l3.sin[(3p/5).x]

 

Avec l1 = (1+t2)1.5 / (t2+5).t ≈ 0,47    l3 = 2(1+t2) / (t2+5).t ≈ 0.761     t = tg(p/10)

 

            Sans entrer dans le détail des calculs numériques, l’application de la méthode utilisée pour les cas précédents permet de calculer une valeur S1 correspondant à la fondamentale et une valeur S3 correspondant à l’harmonique, soit :

            S1 = [(5/p).0,47].[(p/10).cot(p/10) - (p/5).cot(p/5)] ≈ 0,076

 

            S3 = [(5/3p).0,761].[(3p/10).cot(3p/10) - (3p/5).cot(3p/5)] ≈ 0,524

 

            La somme S = S1 + S3  donne bien 0,6 soit le chiffre attendu.

            Cet exemple montre qu’à partir d’une certaine complexité de la fraction F, la fonction caractéristique est chargée d’harmoniques, mais que ce phénomène n’empêche pas qu’on retrouve le résultat attendu.

 

            Evaluation des séries de Grandi par la formule 2 :

            Dans ce qui précède, on a fait l’évaluation des séries par la formule 1, avec des résultats satisfaisants. Il est intéressant de vérifier que ces évaluations  par la formule 2, soit S = s1 – T(1) conduisent aux mêmes résultats. Ce travail a été fait pour le dernier des cas ci-dessus (fraction 3/5). Sans entrer dans les détails du calcul, on  peut faire apparaître la fonction T(x) liée à ce cas, découlant des valeurs successives de T, qui sont égales à zéro, à l’exception de T(4), T(14), T(24)… etc, qui valent 1. On obtient l’équation :

 

            T(x) = 0,2 + 0,4 sin[(p/5).x – 3p/10]] + 0,4 sin[(3p/5).x + p/10]

 

            Qui donne pour x = 1 : T(1) = 0,4

            Ce qui conduit bien à S = 1 - 0,4 = 0,6  chiffre attendu.

            On observe que la fonction T présente une allure similaire à celle de la fonction caractéristique, à savoir une fondamentale de période 10 et un harmonique 3.

            On pourrait également utiliser la formule 2’’, soit S = S(0) / 2 , l’équation de S(x) pouvant être déterminée dans le même esprit que celle de la fonction caractéristique sx.

 

            - Amorce de généralisation :

            On peut tenter de généraliser ce calcul à l’ensemble des fractions F définies comme on l’a vu par :

                                               F = (1+x+x2….. +xp) / (1+x+x2 ….+xq)

 

            Sous cette forme générale, la division euclidienne donne :

 

            1 - xp+1 + xq+1 - xp+q+2 + x2q+2 - xp+2q+3 + x3q+3 - xp+3q+4 ….

 

            En faisant x=1, on constate que la série résultante est une suite de 1 alternativement positifs et négatifs, avec des zéros s’intercalant comme suit :

            p zéros dans les intervalles entre 1 et -1

            (q-p-1) zéros dans les intervalles entre -1 et 1

            (comme on a stipulé que q est au moins égal à p+1, le nombre de zéros ne peut jamais être négatif)

            On peut vérifier que les cas traités ci-dessus répondent bien à ces conditions.

            On voit apparaître une périodicité égale, en première analyse, à (q+1), ce qui indique des fonctions caractéristiques périodiques, et laisse supposer qu’on tombera systématiquement sur des expressions de S contenant des développements de cotangentes.

            Il reste à démontrer que ces expressions seront bien toujours égales à (p+1) / (q+1), généralisation restant pour le moment à l’état de conjecture.

            Remarque 1 : Les polynômes apparaissant dans les fractions F peuvent être  multipliés par x-1, ce qui fournit une autre présentation de ces fractions. Forme générale : (1+x+x2+x3 …. +xp) . (x-1) = xp+1 - 1. En le faisant à la fois au numérateur et au dénominateur, les fractions étudiées plus haut deviennent :

 

 

1/2 : (x-1)/(x2-1)     2/4 : (x2-1)/(x4-1)     1/4 : (x-1)/(x4-1)     3/4 : (x3-1)/(x4-1)

2/3 : (x2-1)/(x3-1)    3/5 : (x3-1)/(x4-1)

 

            L’identité pour x→1est moins évidente qu’avec les polynômes, mais le devient si on remplace x par x+e  (e→0)

            Remarque 2 : Dans les travaux qui précèdent, on a un peu perdu de vue le point de départ, à savoir que la valeur attribuée à une série alternée correspond à l’axe de symétrie des enveloppes supérieure et inférieure. Avec les fonctions caractéristiques périodiques, cette terminologie ne s’applique plus très bien ; il faut plutôt parler d’enveloppes impaire et paire, correspondant respectivement aux points d’abscisses impaires et paires. Le tracé des enveloppes devient alors moins évident, car elles-aussi sont de nature périodique, mais on peut quand même les faire apparaître, comme le montrent les figures ci-dessous, sur lesquelles ont été portées, pour les fractions 3/4 et 3/5 :

            - La fonction caractéristique présentée sous la forme d’un diagramme « en bâtons » défini à partir du développement de la fraction correspondante, en inversant le signe des bâtons d’abscisses paires. Pour la fraction 3/4, on est conduit à n’avoir que des bâtons positifs. La fonction qui les relie ne comporte donc que des 1 et des 0, et se présente à l’évidence comme une sinusoïde pure. Pour la fraction 3/5, par contre, on observe aussi des bâtons négatifs, et un examen attentif montre que la fonction correspondante ne peut pas être une sinusoïde pure, mais comporte une fondamentale et une harmonique 3, ce que confirme le calcul.  

            - Le diagramme en ligne brisée par lequel on représente habituellement une série alternée, accompagné des enveloppes impaire et paire joignant les sommets correspondants. On constate que ces enveloppes n’ont pas un aspect convergent, divergent, ou « en tuyère » (voir l’exemple de la constante r2 présenté plus haut), mais qu’elles se coupent du fait de leur caractère périodique, ce qui ne les empêche pas de présenter des axes de symétrie dont les ordonnées correspondent bien aux valeurs attendues, soit 0,75 et 0,6.

            Il y a manifestement une parenté d’allure entre les enveloppes et les fonctions caractéristiques. Pour la fraction 3/5, en particulier, on retrouve sur les enveloppes la fondamentale de période 10, avec présence d’un harmonique 3, mais avec des amplitudes plus faibles.

 

            Remarque : On peut aussi mettre en évidence la valeur de S en remarquant qu’elle est égale à l’ordonnée moyenne du diagramme en ligne brisée, et se ramène donc à un calcul d’aires de trapèzes. Ce corollaire du calcul par la fonction caractéristique conduit d’ailleurs bien plus rapidement au résultat. La démonstration en est quasi évidente : la grande et la petite base des trapèzes étant égales à p+2 et p, l’aire d’un trapèze vaut donc p+1. L’ordonnée moyenne  s’obtient en divisant cette aire par la période, ce qui donne bien (p+1) / (q+1).

 

 

 

            Remarque : Si on considère que le propre d’une fonction caractéristique est de passer par tous les points correspondant à la série étudiée, on a presque toujours le choix entre plusieurs fonctions possibles, voire une infinité. Dans les exemples présentés ici, on a intuitivement choisi les fonctions les plus « allongées », celles dont la période est la plus grande. Mais si on fait appel à des périodes plus courtes, on peut en faire apparaître beaucoup d’autres. Si nous prenons l’exemple de la fraction 3/4, rappelons que la fonction caractéristique représentée par la courbe ci-dessus est :

 

            sx = 1/2 + (√2 / 2).sin[(p/2).x + p/4]

 

            Un examen plus poussé montre qu’on peut aussi admettre comme fonctions caractéristiques les deux familles suivantes :

 

sx = 1/2 + (√2 / 2).sin[(k.p/2).x + p/4]     avec k = 1, 5, 9 …soit k = 1 + 4n

           

sx = 1/2 + (√2 / 2).sin[(k.p/2).x + 3p/4]   avec k = 3, 7, 11…soit k = 3 + 4n

 

            (n étant un entier de 0 à ∞)

            Toutes les fonctions ainsi définies sont acceptables comme fonctions caractéristiques, dans la mesure où elles répondent aux deux critères :

            - Passer par tous les points voulus.

            - Conduire au bon résultat pour S, à savoir 3/4, quand on leur applique le calcul par leurs dérivées impaires.

            On pourrait multiplier les exemples, en évitant certains « cas interdits » faisant apparaître sin(kp.x+a), qui conduiraient à l’expression cot(kp.x), laquelle n’est pas définie.

 

            Conclusion provisoire :

            Les cas apparemment paradoxaux étudiés ne prennent pas en défaut la méthode de calcul des séries alternées présentée plus haut, ni le fait qu’une série alternée ne possède qu’une seule valeur. Par contre, on a vu que des séries admettent plusieurs fonctions caractéristiques conduisant toutes à cette valeur.

            Si la démonstration n’est pas assez convaincante, il serait intéressant de rechercher d’autres cas paradoxaux, éventuellement différents de la série de Grandi, et de voir si on peut les réfuter comme ceux qui viennent d’être examinés.

            Si la démonstration est admise, on dispose, entre les formules (1) et (2), de moyens permettant d’attribuer une valeur S à de nombreuses séries non convergentes. Dans les cas où ces formules ne marchent pas, il ne faut pas en conclure que S n’existe pas, mais seulement qu’on ne sait pas la calculer analytiquement.

 

            Il existe cependant des cas où on peut, par des astuces de calcul numérique, obtenir des valeurs très précises. Cela se produit notamment avec les séries où apparaît la fonction z, par exemple la série r2 citée plus haut, particulièrement intéressante dans la mesure où elle conduit à la valeur de z (3).

            Rappelons son expression :

 

            r2 = b4 . z (2) /12 + b6 . z (4) /30 …. + b2q . z (2q-2) / 2q.(2q-1)

 

En décomposant les z, on peut l’écrire comme suit :

                                                                          

            ∑ [b4 / 12n2 + b6 / 30 n4 ….] = ∑ n . [b4 / 12n3 + b6 / 30n5 ….]

           n=1                                                                   n=1

L’expression [ ] n’est autre que le terme complémentaire de Ln(n!) dans la formule de Stirling, « amputé » de b2 /2n, ce qui donne :

 

[ ] = Ln(n!) - n.Ln(n) + n - Ln(n) /2 - Ln(2p) /2 - b2 /2n

 

Les premières lignes peuvent s’écrire :

 

                                   1                  - Ln(2p) /2 - b2 /2    - 0.002271863 

 2 [Ln(2!) - 2.Ln(2) + 2 - Ln(2) /2 - Ln(2p) /2 - b2 /4]    - 0.000651936

 3 [Ln(3!) - 3.Ln(3) + 3 - Ln(3) /2 - Ln(2p) /2 - b2 /6]

           …………….etc……………..

La méthode consiste à calculer un certain nombre de lignes et à ajouter un reste qui sera :                                                 

- Si on ne calcule que la première ligne : ∑ [b2q /2q.(2q-1)] . [z (2q-2) - 1]

                                                                    2

- Si on calcule un plus grand nombre de lignes, la seconde expression [ ] est remplacée par : [z (2q-2) - 1 - 1/22q-2], puis par : [z (2q-2) - 1 - 1/22q-2 - 1/32q-2].. etc.

Le reste est toujours une série alternée pseudo-convergente. Plus on a calculé préalablement de lignes, plus les termes de la série sont petits, plus la divergence commence tard, et plus on a une bonne précision. Par exemple :

Si on ne calcule que la première ligne, on trouve pour le reste (avec six termes) : - 0.001734, ce qui donne pour r2 : - 0.004006

Si on calcule les deux premières lignes, on trouve pour le reste (avec sept termes) : - 0.00108222, ce qui donne pour r2 : - 0.00400602.

Une ligne a donc fait gagner deux décimales, ce qui donnerait pour z (3) :    

1.2020569, soit sept décimales. On voit qu’au prix d’un peu plus de calcul, on peut augmenter la précision autant qu’on le souhaite.

            La question peut se poser de considérer l’ensemble des lignes pour n allant de 1 à ∞, et de voir ce que donne un regroupement par colonnes. Cette voie ne donne rien. Au terme de ce travail, on arrive en effet à l’identité r2 = r2, qui a comme seul mérite de montrer que les calculs sont justes.

 

            Quelques applications :

 

            - Développements de logarithmes :

            Le développement de Ln (2), soit : 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 …. est tout particulièrement intéressant par ses retombées. Il peut s’aborder par les deux approches :

            Approche par la formule 2 : la fonction T s’écrit :

 

            T(x) = 1/2 + 1/4 + 1/6 ….1/x = 1/2 [1 + 1/2 +1/3 ….+1/(x/2)]

 

            La série entre [ ] n’est autre que la série harmonique arrêtée à x/2 que nous dénommons h1(x/2). La formule 2 nous donne :

 

            Ln(2) = s1 - T(1) = 1 - 1/2 [h1(1/2)]

 

            L’intérêt de cette formule n’est évidemment pas de calculer Ln(2), mais plutôt h1(1/2), soit :

                                   h1(1/2) = 2.[1 - Ln (2)]  ≈ 0,614

 

            Si on admet que cette fonction h1 est interpolable entre ses valeurs entières, cette expression permet de la « baliser » pour toutes ses valeurs d’abscisses : - 0,5   0,5   1,5   2,5   3,5  ….etc. En attendant mieux.

 

            Approche par la formule 1 : Ecrivons :

 

S = 1 - Ln(2) = 1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 …. La fonction caractéristique est :

sx = (x+1)-1      Soit s0 = 1.   Les dérivées qui nous intéressent sont, pour x = 0 :

 

a1 = - 1   a3 = - 3!   a5 = - 5! ….  an = - n!    ce qui conduit à :

 

S = 1/2 - [(b2/2!) . (22-1) + (3! b4/4!) . (24-1) + (5! b6/6!) . (26-1) ….]

  

    = 1/2 - [(b2/2) . (22-1) + (b4/4) . (24-1) + (b6/6) . (26-1) …..]

 

            On peut remarquer que l’expression entre [ ] n’est autre que la suite des valeurs attribuées aux séries alternées des puissances d’entiers, à partir de la deuxième (la première étant la série de Grandi). On a donc :

 

            Ln(2) = 1 - S = 1/2 + [ ]

 

1/2  étant la valeur attribuée à la série de Grandi, on arrive au théorème suivant :

 

L’addition des valeurs de l’ensemble des séries alternées des puissances d’entiers conduit au nombre Ln (2).

 

- Quelques relations concernant les nombres de Bernoulli :

Repartons de l’expression générale : S = s1 - s2 + s3 - s4 ….

 

Et abordons son calcul en passant par la fonction T(x) = s2 + s4 + s6 … + sx :

 

T(x) = a0 + a1.2 + a2.22/2! + a3.23/3! …. + aq.2q/q!

        + a0 + a1.4 + a2.42/2! + a3.43/3! …..+ aq.4q/q!

            ……………………………………………..       (Tableau de x/2 lignes)

        + a0 + a1.x + a2.x2/2! + a3.x3/3! …..+ aq.xq/q!

 

            En effectuant les regroupements par colonnes et en factorisant chaque fois 2q, on arrive à :

 

T(x) = a0.[x/2]

                    + a1.(2).[1 + 2 + 3 …+ x/2]

                    + a2.(22/2!).[1 + 22 + 32 …+ (x/2)2]

                    + a3.(23/3!).[1 + 23 + 33 …+ (x/2)3]

                        ………………………………………….

                    + aq.(2q/q!).[1 + 2q + 3q.+ (x/2)q]

 

On sait que les expressions entre [ ] peuvent être mises sous la forme de polynômes en x de degré q+1, dont les coefficients sont définis en fonction des nombres de Bernoulli. Après cette transformation, si on fait x = 1, on arrive à l’expression de T(1) :

 

 

 

 

   a0.[1/2]

+ a1.[1/2             + 1/(2.2!)]

+ a2.[(b2/2!).2     + 1/(2.2!)         + 1/(2.3!)]

+ a3.[(b2/2!).2/2! + 1/(2.3!)         + 1/(2.4!)]

+ a4.[(b4/4!).23    + (b2/2!).2/3!   + 1/(2.4!)         + 1/(2.5!)]

+ a5.[(b4/4!).23/2!+ (b2/2!).2/4!   + 1/(2.5!)         + 1/(2.6!)]

+ a6.[(b6/6!).25    + (b4/4!).23/3!  + (b2/2!).2/5! + 1/(2.6!) + 1/(2.7!)]

……………………………………………………………

Avec s1 = a0 + a1 + a2/2! + a3/3! …. + aq/q!  , il reste à appliquer la formule 2, soit : S = s1 - T(1) . On obtient une présentation plus simple en regroupant les fractions rationnelles, ce qui donne pour S :

   a0.[1/2]

+ a1.[1/4]

+ a2.[2/(2.3!) - (b2/2!).2]

+ a3.[3/(2.4!) - (b2/2!).2/2!]

+ a4.[4/(2.5!) - (b4/4!).23     - (b2/2!).2/3!]

+ a5.[5/(2.6!) - (b4/4!).23/2! - (b2/2!).2/4!]

+ a6.[6/(2.7!) - (b6/6!).25     - (b4/4!).23/3! - (b2/2!).2/5!]

………………………………………………………….

On peut maintenant identifier ligne par ligne avec les expressions issues de la formule 1, qui sont nulles pour  les a pairs, et valent [bn+1/(n+1)!] . (2n+1 - 1) pour les a impairs. Pour les a pairs, on obtient :

 

[bn/n!] . 2n-1 + [bn-2/(n-2)!] . 2n-3/3! + [bn-4/(n-4)!] . 2n-5/5! …. = n / 2.(n+1)!

 

Expression qui peut s’écrire, en multipliant par 2(n+1)! :

 

2n.bn .[(n+1)!/n!] + 2n-2.bn-2 .[(n+1)!/3!(n-2)!] + 2n-3.bn-3.[(n+1)!/5!(n-4)!] …. = n

 

            On remarque que les expressions entre [ ] sont des coefficients binomiaux, ce qui permet d’écrire l’expression plus simplement :

 

2n. C1n+1 . bn + 2n-2. C3n+1 . bn-2 + 2n-4. C5n+1 . bn-4 … + 22. C2n+1 . b2 = n

 

Avec les a impairs, on a :

 

[bn-1/(n-1)!].2n-2/2! + [bn-3/(n-3)!].2n-4/4! ... = n / 2.(n+1)! - [bn+1/(n+1)!].(2n+1-1)

 

Avec les mêmes simplifications que pour les a pairs, on obtient l’expression :

 

            2n-1. C2n+1 . bn-1 + 2n-3. C4n+1 . bn-3 …. = n - 2 . bn+1 . (2n+1-1)

 

Qu’on peut encore améliorer avec la transposition : n-1→ n :

 

2n. C2n+2 . bn + 2n-2. C4n+2 . bn-2 ... + 22. C2n+2 . b2 = n + 1 - 2.bn+2 . (2n+2-1)

 

Si on soustrait l’une de l’autre les deux expressions ci-dessus et si on fait jouer la règle du triangle de Pascal pour les coefficients binomiaux, on fait apparaître une troisième expression :

 

2n. C2n+1 . bn + 2n-2. C4n+1 . bn-2 + 22. C2n+1 . b2 = 1 - 2.bn+2 . (2n+2-1)

 

Toutes ces expressions peuvent être utilisées comme des formules de génération par récurrence des nombres de Bernoulli, au même titre que la formule classique rappelée ici pour mémoire :

 

C1n+1 . bn + C3n+1 . bn-2 + C5n+1 . bn-4 …. + C2n+1 . b2 = (n - 1) /2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

            QUELQUES  EXEMPLES  D’APPLICATIONS :

 

            Série des puissances : 1 - p + p2 - p3 + p4 ….

 

            Qu’on peut écrire : (1/p). [p - p2 + p3 - p4 ….]

 

            - Méthode 1 :

            La fonction caractéristique de l’expression entre [ ] est : sx = px , dont les coefficients tayloriens qui nous intéressent sont :

            a0 = 1     a1 = Ln (p)     a3 = [Ln (p)]3    ......... ak = [Ln (p)]k

Ce qui donne pour la série:

[ ] = 1/2 + Ln (p).[(b2 /2!).(22 - 1)] + [Ln (p)]3.[(b4 /4!).(24 - 1)] + ….         

 

            Qu’on peut décomposer en deux séries et écrire sous la forme :

 

[ ] = 1/2 + [1/Ln (p)]. [(b2 /2 !).(2.Ln (p))2 + (b4 /4!).(2.Ln (p))4 + ….]

             - [1/Ln (p)]. [(b2 /2!).(Ln (p))2 + (b4 /4!).(Ln (p))4 +….]

 

            On peut noter que les expressions « Bernoulli » sont des développements connus de type [(x/2).(coth(x/2)] - 1 , ce qui conduit à :

 

[ ] = 1/2 + [1/Ln (p)]. [Ln (p). (coth (Ln (p)) - 1]

             - [1/Ln (p)]. [Ln (p) /2). (coth (Ln (p) /2) - 1]

 

soit, après simplification : [ ] = 1/2 + coth (Ln (p)) - (1/2).coth (Ln (p) /2)

 

            En remplaçant les coth par leurs expressions de type (ex + e-x) / (ex - e-x)   

On arrive, après simplifications, à [ ] = p / (p + 1)

 soit : S = 1/ (p + 1)

            - Méthode 2 :

            Toujours en partant de l’expression entre [ ] , on a pour la fonction T(x) :

 

            T(x) = p2 + p4 + p6 …..+ px

 

Suite géométrique de premier terme p2, de dernier terme px et de raison p2, dont la somme vaut :

            T(x) = p2. (1 - px) / (1 - p2)  soit T(1) = p2. (1 - p) / (1 - p2) = p / (1 + p)

 

            Ce qui conduit à S = 1 - T(1) = 1 / (1 + p)

 

On retrouve bien avec les deux méthodes la valeur attendue.

 

 

 

 

 

 

 

  

           

            Série alternée de Fibonacci : 1 - 1 + 2 - 3 + 5 - 8 + 13 - 21 ……

 

            On peut vérifier que la fonction qui satisfait à cette série est :

 

sx = [F/(F+2)].[Fx - (cos(p.x)) / Fx]

 

 F étant connu sous le nom de « nombre d’or », soit : (1 + √5) /2 ≈ 1,618

            La fonction peut se décomposer en :

 

s1x = [F/(F+2)]. Fx     et s2x = [F/(F+2)]. [cos(p.x)] /Fx]

 

            Pour s1x, quand on passe à la série alternée, on tombe sur une série des puissances, soit :

                        S1 = [F/(F+2)]. [F - F2 + F3 ….]

 

            Comme on l’a vu au paragraphe précédent, la série en F vaut : F/(F+1), ce qui donne : S1 = 1/(F+2)        (avec F+1 = F2)

 

Pour S2, la fonction s2x comporte alternativement : +/- 1/Fx   Quand on passe à la série alternée, les termes se retrouvent avec le même signe, ce qui donne :

            S2 = [F/(F+2)]. [1/F + 1/F2 ...+ 1/Fx]

 

            S2 ne relève donc pas des séries alternées, mais des suites géométriques, avec ici un premier terme égal à 1/F ainsi que la raison. 1/F étant inférieur à 1, cette progression est sommable à l’infini, avec pour résultat :

 

            (1/F) / [1 - (1/F)] = 1/ (F - 1) = F    soit : S2 = F2 /(F+2)

 

Ce qui donne pour la série complète : S = S1 + S2 = 1/(F+2) + F2/(F+2)

 

            Soit, après calcul et simplifications : S = 1

 

            Remarque : L’exemple ci-dessus montre que des séries apparemment alternées peuvent en réalité ne pas l’être. C’est notamment le cas des séries telles que S2 où on voit apparaître cos(n.p.x) dans la fonction caractéristique (n étant un entier impair). Cette expression valant alternativement 1 et -1, en faire une série alternée revient à n’avoir que des termes de même signe, ce qui conduit à se retrouver hors domaine. Dans l’exemple de S2, on arrive quand même à un résultat, car la fonction cos(p.x) est amortie par le quotient Fx , ce qui conduit à une suite géométrique sommable.

            On trouverait un cas similaire avec les nombres de Bernoulli :

la série :  b2 -  b4 + b6 - b8 … n’est pas évaluable, car elle se ramène à une addition d’une quantité infinie de nombres positifs.

            Il est vraisemblable qu’on peut trouver d’autres cas aberrants, mais le présent document ne prétend pas les recenser. Il faut seulement être prudent dans son utilisation.

 

 

            Série des entiers impairs : 1 - 3 + 5 - 7 …..

 

            - Méthode 1 :

            La fonction caractéristique est : sx = 2.x - 1   soit :  a0 = -1    a1 = 2

 

            Ce qui donne : S = -1/2 + 2.[(b2 /2). (22 - 1)] = 0

 

            - Méthode 2 :

            Fonction T(x) = 3 + 7 + 11 …..+ (2.x - 1) , qu’on peut décomposer en :

 

T1 = 2. [2 + 4 + 6  ….. + x] = 4. [1 + 2 + 3 ….+ x/2] = 4. [x2 /8 + x/4] = x2/2 + x

 

Et T2 = - (1 + 1 + 1 …. +1] = - x/2

 

            Ce qui donne : T(x) = x2 /2 + x/2    et T(1) = 1

 

Et enfin : S = s1 - T(1) = 1 - 1 = 0

 

 

            Série de coefficients binomiaux : 1 - 3 + 6 - 10 …..

 

            - Méthode 1 :

Les termes successifs valent : (1.2) /2    (2.3) /2     (3.4)/2  …..   x.(x+1) /2

La série peut donc s’écrire :

                        S = (1/2). [1.2 - 2.3 + 3.4 - 4.5 ….. +/- (x2 + x)]

 

            Les coefficients tayloriens impairs de la fonction caractéristique se limitent au premier, soit a1 = 1 . On a donc pour S :

 

            S = (1/2). [(b2 /2!).(22 - 1)] = 1/8

 

            - Méthode 2 :

            Fonction T(x) : 3 + 10 + 21 …. = (1/2). [2.(2+1) + 4.(4+1) ….+ x.(x+1)]

 

Qu’on peut décomposer en :

                        T1 = (1/2). (22 + 42 …. + x2) = 2. [1 + 22 …. + (x/2)2]

 

                    Et T2 = (1/2). (2 + 4 …. + x) = 1 + 2 …. + x/2

 

Ces sommes ont des expressions polynomiales connues, ce qui conduit à :

 

                         T1 = 2. [(x/2)3 /3 + (x/2)2 /2 + (x/2) /6] = x3/12 + x2/4 + x/6

 

                          T2 = (x/2)2 /2 + (x/2) /2] = x2/8 + x/4  ,    ce qui donne :

 

 T(x) = T1 + T2 = x3/12 + 3.x2/8 + 5.x/12, soit T(1) = 1/12 + 3/8 + 5/12 = 7/8

 

            Et  S = s1 - T(1) = 1/8

 

 

            Série de coefficients binomiaux : 1 - 4 + 10 - 20 ….

 

            Méthode 1 :

Les termes successifs valent : 1.2.3/6   2.3.4/6   3.4.5/6   4.5.6/6   x.(x+1).(x+2)/6

La série peut donc s’écrire :

            S = (1/6). [1.2.3 - 2.3.4 + 3.4.5 ….+/- (x3+ 3.x2 + 2.x)]

 

Les coefficients tayloriens impairs sont cette fois : a1 = 2   a3 = 6 , ce qui donne :

 

            S = (1/6). [2.(b2 /2!).(22 - 1) + 6.(b4 /4!).(24 - 1)] = 1/16

 

            Méthode 2 :

T(x) : 4 + 20 + 56 …. = (1/6). [2.(2+1).(2+2) + 4.(4+1).(4+2)… + x.(x+1).(x+2)]     

 

Qu’on peut décomposer en :

T1 = (1/6). (23 + 43 …+ x3) = (4/3). [1 + 23 + 33 …. + (x/2)3]

 

T2 = (1/6). (3.22 + 3.42 … + 3.x2) = 2. [1 + 22 + 32 … + (x/2)2]

 

T3 = (1/6). (2.2 + 2.4 …. + 2.x) = (2/3). [1 + 2 + 3 … + (x/2)]

 

Remplaçons les sommes de puissances d’entiers par leurs expressions polynomiales connues. On obtient :

 

T1 = (4/3). [(x/2)4/4 + (x/2)3/2 + (x/2)2/4]

 

T2 = 2. [(x/2)3/3 + (x/2)2/2 + (x/2)/6]

 

T3 = (2/3). [(x/2)2/2 + (x/2)/2]   ,         ce qui donne :

 

T(x) = T1 + T2 + T3 = x4/48 + x3/6 + 5.x2/12 + x/3

 

            Soit T(1) = 1/48 + 1/6 + 5/12 + 1/3 = 15/16

 

            Et S = s1 - T(1) = 1/16

 

 

            Série hypergéométrique de Wallis (ou série alternée des factorielles) :

 

            W = 0! - 1! + 2! - 3! …. = 1 - 1 + 2 - 6 + 24 ….

 

            Cette série est considérée comme un cas extrême, en raison de sa divergence particulièrement explosive. Pour conserver la notation habituelle, nous étudierons plutôt la série S = 1! - 2! + 3! … , la série de Wallis étant alors donnée par W = 1 - S .

            L’utilisation des méthodes présentées ici impose de connaître le développement taylorien de la fonction factorielle, qu’on peut trouver dans l’annexe 5, le tableau des premiers coefficients se présentant comme suit :

 

 

 a0 = 1          a1 = - 0,577216            a2 /2! = 0,989056             a3 /3! = - 0,907479    

                    a4 /4! = 0,981728          a5 /5! = - 0,981995          a6 /6! = 0,993149   

                    a7 /7! = - 0,996002       a8 /8! = 0,998106             a9 /9! = - 0,999025 

                    a10 /10! = 0,999516        

 

            On constate (et on peut d’ailleurs démontrer) que ces valeurs, alternativement positives et négatives, ont une valeur absolue qui tend vers 1.

            Si on utilise la formule 1, seuls comptent les coefficients impairs qui sont tous négatifs. La formule peut alors s’écrire :

 

S = a0/2 + 3.a1.(b2 /2) + 15.(a3/3!).(b4 /4) + 63.(a5/5!).(b6 /6) + 255.(a7/7!).(b8 /8)     

       + ……………………..   

            On peut mettre à profit le fait que les coefficients an/n! tendent vers 1 en décomposant l’expression comme suit :

 

S1 = - a0/2 - 3. (b2 /2) - 15. (b4 /4) - 63. (b6 /6) …..      

 

S2 = a0 + 3. [1+ a1].(b2 /2) + 15. [1+ (a3/3!)].(b4 /4) + 63. [1+ (a5/5!)].(b6 /6)] …..      

 

            On retrouve avec S1 l’addition des séries alternées des puissances d’entiers déjà calculée plus haut, soit : S1 = - Ln (2).

            Pour S2, on ne dispose pas d’une expression analytique évidente, mais cette ligne se prête assez bien au calcul numérique, dans la mesure où les coefficients entre [ ] ont des valeurs qui se rapprochent de zéro, compensant, au moins au début, la divergence des nombres de Bernoulli. Tous calculs effectués, cette ligne s’écrit :

 

S2 = 1 + 0,105696 - 0,011565 + 0,004501 - 0,004248 + 0,007556 …..   

 

L’examen du diagramme en ligne brisée donne, avec une précision de l’ordre de 10-3 :

                        S2 ≈ 1,097 , ce qui donne :  S ≈ 1,097 - Ln (2) ≈ 0,404

 

            Et enfin pour la série de Wallis :  W ≈ 1 - 0,404 ≈ 0,596

 

            Nous avons ici une bonne illustration de ce qu’on peut appeler un processus de « délestage », consistant à décomposer une série mal calculable en une première série ayant une valeur analytique connue (ici  : - Ln (2)) et un reliquat ayant des termes beaucoup plus petits, donc se prêtant mieux à une évaluation numérique.

 

            On peut aller encore plus loin dans la précision en examinant une autre expression connue des coefficients tayloriens de la factorielle, soit :

                                                             

                        a0 = ∫ e-t.∂t   = 1       a1 = ∫ [Ln (t)].e-t.∂t   = - g

                               0                                0

                                                       a3 =   ∫ [Ln (t)]3.e-t.∂t

                                               ……...    0              ……………………………….      

       aq = ∫ [Ln (t)]q.e-t.∂t        

                                                             0

                Ces intégrales se prêtent mal à une évaluation numérique, du fait de l’asymptote verticale, mais beaucoup mieux si on les scinde en une partie G intégrée de 0 à 1, et une partie I intégrée de 1 à ∞. Pour G, on montre facilement qu’on obtient :

 

            G0 = 1 - 1/2! + 1/3! - 1/4! ….. = 1 - e-1  ≈ 0,632121

 

            G1 = - [1 - 1/(2.2!) + 1/(3.3!) - 1/(4.4!) ….. ] ≈ - 0,79659960

 

            G3 /3! = - [1 - 1/(23.2!) + 1/(33.3!) - 1/(43.4!)  … ] ≈ - 0,94308257

           ………………………………………….

            Gq /q! = - [1 - 1/(2q.2!) + 1/(3q.3!) - 1/(4q.4 )! ….]    (q impair)

 

            Les valeurs impaires suivantes donnent :

 

G5/5! ≈ - 0,98502268   G7/7!≈ - 0,99616752   G9/9!≈ - 0,99903175 

G11/11! ≈ - 0,99975684

 

            Pour la partie I, on peut faire une évaluation graphique assez précise, l’asymptote ayant disparu. On trouve :

                                                            I0 = e-1 ≈ 0,367879        I1 ≈ 0,21938431

I3/3! ≈ 0,03560348   I5/5! ≈ 0,00302761  I7/7! ≈ 0,00016576   I9/9! ≈ 0,00000648  

 I11 /11! ≈ 0,192937 10-6    I13 /13! ≈ 0,004561 10-6    I15 /15! ≈ 0,08831 10-9

 

            La série S2 calculée ci-dessus peut donc à son tour se décomposer comme suit :

 

S20 = 1

 

S21 = 3.I1.b2 /2 + 15.(I/3!).b4 /4 + 63.(I5 /5!).b6 /6 ... + (2q+1-1).(Iq /q!).bq+1 /(q+1)

 

S22 = 3.(1+ G1). b2 /2 + 15.(1+ G3 /3!). b4 /4 …+ (2q+1-1).(1+ Gq /q!). bq+1 /(q+1)

 

            Traitement de S21 :

 

En remplaçant les I par leurs valeurs numériques, on obtient :

S21 ≈ 0,05484608 - 0,00445043 + 0,00075690 - 0,00017611 + 0,00005024

- 0,00001666 + 0,00000623 - 0,00000257

            Série apparemment convergente, dont la meilleure approximation est : 0,05101445

            La convergence de Iq/q! peut être mise en évidence en exprimant comme suit les termes Iq /q! :                                                             

                                    Iq /q! = [ ∫ ((Ln (t))q.e-t.∂t] / [ ∫ tq.e-t.∂t]

1                                                             0

Si q → ∞ , tq devient infiniment plus grand que (Ln (t))q. La deuxième intégrale devient donc infiniment plus grande que la première. La convergence n’est toutefois pas très rapide. Pour éviter d’avoir à calculer un très grand nombre de termes, le chiffre ci-dessus a été obtenu par la méthode approchée exposée au dernier chapitre de ce document (approximation parabolique).

Par contre, le reste du terme courant est nettement divergent du fait des nombres de Bernoulli. La convergence de S21 n’est donc pas établie. Toutefois, une investigation numérique montre qu’elle existe encore vers le 25ème terme, mais qu’elle est de plus en plus faible quand q augmente. Si on va encore plus loin, un calcul aux limites montre que la convergence devrait se poursuivre jusqu’à l’approche du 40ème terme, après quoi la série deviendrait divergente. On pourrait donc avoir affaire à une série pseudo convergente, mais présentant un col très éloigné et très étroit, ce qui autorise une grande précision, toujours avec la méthode approchée déjà citée.

On peut appuyer cette hypothèse sur un calcul simple consistant à remplacer les nombres de Bernoulli bq pour q très grand par l’expression :

 

bq+1 ≈ 2.z (q+1).(q+1)!/ (2p)q+1   2.(1 + 1/ 2q+1).(q+1)!/ (2p)q+1

 

Le terme courant de S21 devient alors, en faisant (2q+1-1) = 2q+1.(1 - 1/2q+1) :

 

(2q+1-1).(Iq/q!).bq+1/(q+1) =

       [2q+1.(1-1/2q+1).Iq/(q+1)!].[2.(1+1/2q+1).(q+1)!/ (2p)q+1]

 

            En effectuant les simplifications évidentes, on arrive finalement à :

 

            2.(1-1/ 22q+2).Iq / pq+1

 

                Le terme correctif étant rapidement négligeable, on voit que ce terme courant de S21 diminue tant que le quotient Iq+2/Iq est inférieur à p2.  Or,  on  peut  voir à l’annexe 5 que le quotient Iq+1/ Iq croît indéfiniment et passe par la valeur p vers q = 73, c’est-à-dire vers le 37ème terme. On peut donc s’attendre à être en présence d’une série pseudo convergente, mais présentant un col très lointain et très étroit (l’ordre de grandeur du 37ème terme étant de 2.10-10)

 

Traitement de S22 :

 

            En remplaçant Gq/q! par son expression donnée ci-dessus, le terme courant de S22 devient :

 

(2q+1 - 1).[1/(2q.2!) - 1/(3q.3!) + 1/(4q.4!) …. ].[bq+1/(q+1)]     qu’on peut écrire :

 

(2q+1 - 1).[1/2q+1 - 1/(3q+1.2!) + 1/(4q+1.3!) …. +/- 1/(nq+1.(n-1)!) …].[bq+1/(q+1)]

 

            qu’on peut décomposer en deux séries :

 

[1 - (1/2!).(1/1,5)q+1 + (1/3!).(1/2)q+1 … +/- (1/(n-1)!).(1/(n/2))q+1].[bq+1/(q+1)]

 

-[(1/2)q+1 - (1/2!).(1/3)q+1 + (1/3!).(1/4)q+1 … +/- (1/(n-1)!).(1/n)q+1].[bq+1/(q+1)]

 

            Pour la bonne compréhension, on peut présenter ces séries sous la forme de deux tableaux, sachant que l’indice q varie de 1 à ∞, de 2 en 2 :

 

 

 

b2/2 - (1/2!).b2/(2.1,52) + (1/3!).b2/(2.22) - (1/4!).b2/(2.2,52) ….

b4/4 - (1/2!).b4/(4.1,54) + (1/3!).b4/(4.24) - (1/4!).b4/(4.2,54) …

b6/6 - (1/2!).b6/(6.1,56) + (1/3!).b6/(6.26) - (1/4!).b6/(6.2,56) …

            …………………………………….

 et :                            

-[b2/(2.22) - (1/2!).b2/(2.32) + (1/3!).b2/(2.42) - (1/4!).b2/(2.52) …

-[b4/(4.24) - (1/2!).b4/(4.34) + (1/3!).b4/(4.44) - (1/4!).b4/(4.54) ….

-[b6/(6.26) - (1/2!).b6/(6.36) + (1/3!).b6/(6.46) - (1/4!).b6/(6.56) …

                                                                

A ce stade, on peut utiliser la formule : ∑ bq/(q.nq) = g - h1(n) + Ln (n) + 1/2n

                                                                 2

qui découle de la première dérivée de la formule de Stirling des factorielles, et de la première dérivée logarithmique de la factorielle, soit :

 

            [Ln (n)]’ = -g + 1 + 1/2 + 1/3 …. + 1/n = - g + h1(n)

 

La fonction h1 a été rencontrée plus haut, à propos du développement de Ln (2), qui a notamment permis d’établir :

 

            h1(0,5) = 2.[1 - Ln (2)]

 

Expression d’où découlent les valeurs de la fonction h1 pour les variables de la forme n/2 :

 

            h1(1,5) = h1(0,5) + 1/1,5

            h1(2,5) = h1(0,5) + 1/1,5 + 1/2,5

                        ……..etc…….

Effectuons maintenant les sommations par colonnes des tableaux ci-dessus. On a pour le premier tableau :

Première colonne :   n = 1 :                  [g - h1(1)                   + 1/2]

Deuxième colonne : n = 1,5 :  - (1/2!).[g - h1(1,5) + Ln (1,5) +1/3]

Troisième colonne :  n = 2 :       (1/3!).[g - h1(2)   + Ln (2)    +1/4]

Quatrième colonne : n = 2,5 :  - (1/4!).[g - h1(2,5 + Ln (2,5) + 1/5]

                        ……………………………….

            et pour le deuxième tableau :

Première colonne :   n = 2 :          - [g - h1(2) + Ln (2) + 1/4]

Deuxième colonne : n = 3 :   (1/2!).[g - h1(3) + Ln (3) + 1/6]

Troisième colonne : n = 4 : - (1/3!).[g - h1(4) + Ln (4) + 1/8]

Quatrième colonne : n = 5 :   (1/4!).[g - h1(5) + Ln (5) + 1/10]

                        …………………………………..

            En combinant les deux tableaux, on observe que les termes g s’annulent, que la différence des logarithmes donne systématiquement - Ln (2), et qu’il reste en définitive :

                        S22 =    [h1(2) - h1(1)    - Ln (2) + 1/4]

                        -  (1/2!).[h1(3) - h1(1,5) - Ln (2) + 1/6]

                        + (1/3!).[h1(4) - h1(2)    - Ln (2) + 1/8]

                                    …………………….

                        +/- [1/(n-1)!].[h1(n) - h1(n/2) - Ln (2) + 1/2n]

 

            En transposant n en n/2 pour le premier tableau.

            Cette série est alternée et convergente. On peut observer que les termes en h1 tendent respectivement vers Ln (n) + g  et  Ln (n/2) + g , et que leur différence tend donc vers Ln (2). Quand n → ∞ , le terme correspondant de S22 tend donc vers 1/ [2n.(n-1)!] . Il s’agit donc d’une convergence très rapide qui est de nature à faciliter le calcul numérique.

            Les termes en h1 étant calculés, on arrive à la présentation numérique suivante de S22 :

                        S22 ≈ 0,05685282 - 0,01324026 + 0,00253103 - 0,00040891

+ 0,00005711 - 0,00000702 + 0,00000077 - 0,00000008 + 0,00000001

 

Ce qui donne : S22 ≈ 0,04578547

           

On obtient donc en définitive pour S :

                  

S = - Ln (2) + 1 + S21 + S22

                              

   ≈ - 0,69314718 + 1 + 0,05101445 + 0,04578547 = 0,40365274

 

ce qui donne : W = 1 - S ≈ 0,59634726

 

Notons que le chiffre obtenu est compatible jusqu’à la sixième décimale avec celui trouvé par Euler, ce dernier étant toutefois bien plus précis encore (0,596347362123)

            Ce résultat est quand même largement suffisant pour conforter la validité de la méthode présentée ici.

            Notons surtout que, les séries S21 et S22 étant très favorables, la précision pourrait être considérablement améliorée, à condition de disposer d’un outil de calcul le permettant.

                                                                                    

 

            Séries comportant des nombres imaginaires :

 

            On étudiera ici les séries issues de : 1 + z + z2 + z3 + z4 …. dans lesquelles z est de la forme a.i. La série devient une série alternée de la forme :

 

            S = 1 + a.i - a2 - a3.i + a4 + a5.i - a6 ….

 

            Qui se décompose en une série réelle R et une série imaginaire I :

 

R = 1 - a2 + a4 - a6  ….    I = i. [a - a3 + a5 - a7 ….] = a.i. [1 - a2 + a4 - a6 ...]

 

            L’expression qui apparaît dans les deux séries n’est autre que la série alternée des puissances de a2 dont la valeur connue est : [ ] = 1 / (a2 + 1)

On a donc finalement pour S :

                                               S = (1 + a.i) / (a2 + 1)

 

            Pour les premières valeurs entières positives de a, les résultats sont :

 

S1 = 1/2 + (1/2). i     S2 = 1/5 + (2/5). i    S3 = 1/10 + (3/10). i  …….

 

            Si on remplace a par -a , la partie réelle est inchangée,  et la partie imaginaire change de signe.

            Si on positionne les différentes valeurs de S dans le plan complexe, on peut démontrer que leur lieu géométrique est une circonférence de diamètre 0 ; 1 sur l’axe des réels, la partie supérieure de la circonférence correspondant aux a positifs et la partie inférieure aux a négatifs.

            L’axe vertical de cette circonférence est donc la droite d’abscisse 1/2 sur laquelle apparaissent également les célèbres zéros de la conjecture de Riemann. Mais il ne s’agit sans doute là que d’une coïncidence.   

 

 

            Notion de « Meilleure approximation » :

 

            Cette expression a été utilisée pour la série de Wallis, tant pour la série convergente S21 que pour la série pseudo convergente S23. Le principe d’approximation d’une série S consiste, à partir de son  diagramme en ligne brisée :

            - Pour une série convergente, à l’assimiler à une série géométrique qu’on définit d’après les trois derniers points connus du diagramme, dont les ordonnées sont : y1, y2, y3. L’approximation Y de la série S est alors :

 

                                     Y = (y22 - y1.y3) / (2.y2 - y1 - y3)

 

            La précision peut être améliorée autant qu’on le veut en augmentant le nombre de termes de S.

            Si on effectue le calcul ci-dessus avec les trois derniers termes, puis avec les trois termes résultant d’un décalage d’un terme vers l’amont, les deux résultats obtenus constituent un encadrement de la valeur de la série.

 

Pour une série pseudo convergente, toujours à partir du diagramme en ligne brisée, à étudier le mieux possible le col, s’il est raisonnablement accessible.

 En première étape, on peut considérer l’encadrement « au plus petit terme », la position de ce terme sur le diagramme étant considérée comme représentative de celle du col. Si y1 et y2 sont les valeurs du diagramme qui encadrent ce terme, on peut les considérer comme un encadrement valable, la meilleure valeur estimée Y de la série étant :

 Y = (y1 + y2) / 2

 

En deuxième étape, on peut ajouter une troisième valeur y3, et considérer qu’on peut assimiler l’enveloppe supérieure à la droite AC joignant les points d’ordonnées y1 et y3, supposés appartenir à cette enveloppe. L’estimation de la série, d’ordonnée Y, apparaît alors comme la moyenne entre y2 et l’ordonnée du point B qui est (y1 + y3) / 2 , ce qui donne finalement :

Y = (y1 + 2.y2 + y3) / 4

 

On peut noter que ce résultat peut également être obtenu en calculant la « moyenne des moyennes » des ordonnées y1, y2 d’une part, y2, y3 d’autre part.  

En troisième étape, on peut assimiler les enveloppes à des arcs de paraboles dont on recherchera l’axe de symétrie, un arc quelconque de l’enveloppe supérieure étant définie par quatre points consécutifs, soit A, B, C, D , les abscisses correspondantes étant par convention 0, 1, 2, 3. (Voir schéma ci-dessous)

 

 

 

 

 

 L’équation de cette enveloppe étant de la forme y = a.x2 + b.x + c , les coefficients a, b, c sont des inconnues du problème, auxquelles s’ajoute comme quatrième inconnue l’ordonnée Y de l’axe de symétrie des enveloppes, qui est la valeur recherchée.

Les points B et D , étant sur l’enveloppe étudiée ont pour ordonnées les valeurs intermédiaires y2 et y4 de la série. Pour les points A et C , il faut faire jouer la symétrie des enveloppes qui donne : yA = 2.Y - y1  et : yC = 2.Y - y3 . On obtient ainsi les quatre équations :

                                                           2.Y - y1 = c

                                                                    y2 = a + b + c

                                                           2.Y - y3 = 4.a + 2.b + c

                                                                    y4 = 9.a + 3.b + c

 

La résolution de ce système ne pose pas de problème et fournit notamment :

                                                            Y = (y1 + 3.y2 + 3.y3 + y4) / 8

 

Notons que ce même résultat peut être obtenu plus simplement en calculant la moyenne des moyennes correspondant à l’application du processus de la deuxième étape respectivement aux points A, B, C et aux points B, C, D , soit :

Y = [(y1 + 2.y2 + y3) / 4 + (y2 + 2.y3 + y4) / 4] / 2

 

Les deux demi termes de l’expression entre [ ] constituent un encadrement du résultat recherché.

On peut poursuivre sur les étapes ultérieures, la suivante consistant à modéliser les enveloppes par des cubiques, ce qui donne :

 

Y = [(y1 + 3.y2 + 3.y3 + y4) / 8 + (y2 + 3.y3 + 3.y4 + y5) / 8] / 2 , soit :

 

Y = (y1 + 4.y2 + 6.y3 + 4.y4 + y5) / 16

 

Si on utilise n points, on peut montrer que Y est le résultat d’une fraction dont le numérateur est une somme des ordonnées des n points, pondérées par  les coefficients binomiaux de l’expression (a+b)n-1 , et dont le dénominateur est égal à 2n-1. Les équations des courbes modélisant les enveloppes sont alors des polynômes de degré n-2 .

 

Les calculs ainsi présentés sont valables dans toutes les zones de la série, mais la meilleure précision est obtenue quand on est dans la zone du col, les valeurs centrales de y encadrant alors le plus petit terme. (Ils sont également valables pour les séries convergentes, si on y trouve un avantage.)

Notons que la précision est forcément limitée par le principe même de l’approximation. Dans tous les cas, elle est très liée à la largeur du col, qui, comme on l’a vu, est voisine du plus petit terme de la série. La technique des délestages est efficace dans la mesure où la série délestée présente un col plus étroit que la série initiale.

 

            La recherche d’un encadrement est un peu plus compliquée que pour les séries convergentes. En prenant comme exemple une approximation parabolique, on peut utiliser le processus suivant :

            Prendre comme première approximation S1 = (y2 + y3) /2

            Effectuer le calcul ci-dessus avec un premier groupe de 4 points tels que la moyenne des deux extrêmes soit supérieure à S1 avec l’écart minimum possible. On obtient une deuxième approximation S2.

            Reprendre le calcul avec un deuxième groupe de 4 points tels que la moyenne des deux extrêmes soit inférieure à S1 avec l’écart minimum possible. On obtient une troisième approximation S3.

            S2 et S3 constituent un encadrement du résultat cherché. La méthode fonctionne d’autant mieux que le col est plus allongé.

 

            Exemple numérique :

            Cet exemple s’appuie sur la fonction s (x) apparaissant dans la formule de Stirling, soit :

                        Ln (x!) = x.Ln (x) - x + Ln (x) /2 + Ln (2p) /2 + s (x)

 

            (fonction étudiée à l’annexe 4)

            On peut avantageusement choisir x = 1,2 , valeur qui conduit à une série s de configuration assez commode, soit :

 

            s (1,2) = Ln (1,2!) - 1,2.Ln (1,2) + 1,2 - Ln (1,2) /2 - Ln (2p) /2

 

Expression calculable numériquement, ce qui donne :

 s (1,2) = 0,0680623 , et qui peut, par ailleurs, s’exprimer par la série que nous allons tester :

  s (1,2) = b2 /(2.1,2) + b4 /(12.1,23) …… + bq /[q.(q-1).1,2 (q-1)] ...

 

            Série pseudo convergente dont le début est :

 

0,0694444 - 0,0016075 + 0,0003190 - 0,0001661 + 0,0001631 - 0,0002581

 + 0,0005991 ………

                    Les sommets successifs du diagramme en ligne brisée en découlent :

 

0,0694444  0,0678369  0,0681558  0,0679897 0,0681529  0,0678948  0,0684939

 

            Le plus petit terme de la série étant le cinquième, l’évaluation « au plus petit terme » est la valeur moyenne entre le quatrième et le cinquième sommet, soit :

S1 = 0,0680713

           

La borne supérieure de l’encadrement cherché telle que définie ci-dessus est obtenue avec les sommets 4, 5, 6, 7 et vaut :

S2 = 0,0680783

(moyenne des extrêmes : S2a = 0,0682418)

 

            La borne inférieure est obtenue avec les sommets 3, 4, 5, 6 et vaut :

 

                                                                       S3 = 0,0680598

(moyenne des extrêmes : S3a = 0,06802531)

 

On peut constater que le résultat recherché, soit 0,0680623 , se trouve bien à l’intérieur de cet encadrement, dont l’écart entre bornes est :                     D = 0,0000185.

La valeur S1 s’y trouve d’ailleurs aussi, mais si on avait arrêté le calcul à ce stade, on aurait dû se contenter d’un encadrement constitué par les sommets 4 et 5, soit un écart entre bornes de 0,000163.

            L’approximation parabolique a donc amélioré la précision dans un rapport d’environ 8,6 , soit un gain correspondant pratiquement à une décimale.

            On peut pousser la recherche jusqu’à la détermination d’une valeur « la plus probable » en comparant les deux moyennes des extrêmes avec la première estimation S1. On constate que S3a en est beaucoup plus proche que s2a. Cette disproportion doit logiquement se retrouver sur S3 et S2, ce qui conduit à partager l’encadrement D au prorata de ladite disproportion.

            On arrive ainsi à une meilleure estimation : S4 = 0,0680637

            L’écart avec la valeur connue de s (1,2) n’est plus que de 0,0000014 , alors qu’il était de 0,0000090 avec l’évaluation au plus petit terme S1.

            Si on peut craindre un doute sur le bon choix des deux familles de sommets, ou simplement affiner encore un peu le résultat, on peut reprendre tout le processus en partant de S4 au lieu de S1. L’estimation devient alors :

 S5 = 0,0680631 , ce qui nous approche encore un peu plus de la valeur de référence (écart : 0,0000008). Au-delà, le chiffre ne varie pratiquement plus.

            On peut noter que S5 est toujours beaucoup plus proche de la borne inférieure que de la borne supérieure, ce qui n’est dû qu’à la configuration locale du diagramme en ligne brisée. Or, on peut admettre que S5 doit logiquement être équidistant des deux bornes, ce qui conduit à conserver la borne inférieure, mais à diminuer la borne supérieure qui devient : S’2 = 0,0680664. On arrive à un écart entre bornes : D’ = 0,0000066 , ce qui conduit à diviser l’encadrement par près de 3. L’estimation S5 est alors assortie d’une incertitude de +/- 0,0000033, ce qui permet de garantir 5 décimales. Notons que la valeur de référence est toujours comprise dans l’encadrement.

           

 

 

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