SOMMES  CLASSIQUES  ET  PARADOXALES

 

 

 

CHAPITRE 1 :  SERIES  DE  RIEMANN

 

 

Définitions :

 

On nomme série de Riemann la fonction :

                                                                     hn(x) = 1 + 1 / 2n + 1 / 3n.+ 1 / xn    pour n > 1

 

On nomme série harmonique la fonction particulière h1(x)

 

Pour n < 1, on tombe dans une autre famille qui sera étudiée au chapitre suivant.

 

Propriétés connues ou supposées connues :

 

hn(0) = 0        hn(1) = 1       (également vrai pour la série harmonique) 

 

Si x tend vers l’infini, hn(x) tend vers une asymptote z(n)  , dont les valeurs successives constituent la fonction Zêta. Les séries de Riemann sont donc sommables à l’infini.

Cette propriété ne se retrouve pas dans la série harmonique ; on a alors : h1(x) = Ln (x) + g

( g étant la constante d’Euler, nombre irrationnel valant approximativement 0,577….)

 

Remarque : Les valeurs analytiques de z(n) pour n pair ont été établies par Euler. Pour les n impairs, il n’existe pas de valeurs analytiques connues. Pour n = 1 , z tend vers l’infini, ce qui peut donner lieu à des indéterminations qu’on peut lever en appliquant :

                                                                                       z(1+e) = 1/e + g

 

Enfin, pour n < 1 , la fonction z(n) n’est pas définie, les fonctions hn ne présentant pas d’asymptote.

 

Equation d’une série hn :

 

hn(x) = [ n . z(n+1) . x] – [ n.(n+1) . z(n+2) . x2 / 2!] + [ n.(n+1).(n+2) . z(n+3) . x3 / 3!] …-   (1)

 

Pour les premières valeurs de n, elle devient :

 

h1(x)  =  z(2).x  -  z(3).x²  +  z(4).x³  - .......

h2(x)  =  2z(3).x  -  3z(4).x²  +  4z(5).x³  -  ……

h3(x)  =  3z(4).x  -  6z(5).x²  +  10z(6).x³  -  …..

................................etc.........................

 

Fonctions continues, dérivables et intégrables, qu’on peut utiliser pour tracer les courbes hn(x), et qu’on peut même étendre aux valeurs négatives de x, en se limitant à :   x = -1 (si on va au-delà, les fonctions h divergent.) Pour les calculs numériques, on choisira de préférence un x compris entre 0 et 1 (ou entre - 0,5 et 0,5) pour améliorer la convergence. On peut ensuite passer à toute autre valeur de x par sauts successifs d’une unité, en appliquant :

                                                                              h1(x+1) = h1(x) + 1 / (x+1)

 

Dans la présente étude, on s’intéressera particulièrement à l’intégration de hn(x), qui peut s’effectuer terme à terme, ce qui donne :

  x

ƒ hn(x) . ðx = [ n . z(n+1) . x2 / 2!] - [ n.(n+1) . z(n+2) . x3 / 3!] + [ n.(n+1).(n+2) . z(n+3) . x4 / 4!] ….

0

Avec quelques calculs simples, on peut vérifier l’identité :

  x

ƒ hn(x) . ðx = z(n) . x – [ hn-1(x) / (n-1)]

0

Si nous effectuons l’intégration de 0 à 1, nous arrivons à la fonction :

 

  q(n) = z(n) – [1 / (n-1)]     (fonction Têta)    (2)

           

            Le sens géométrique de cette expression étant l’aire comprise entre l’axe des abscisses et la courbe représentative de hn(x), entre 0 et 1.

            Notons que les formules ci-dessus continuent à s’appliquer quand n n’est pas entier, étant donné que les z comme les factorielles gardent un sens pour des variables non entières.

 

            Par rapport à la fonction Zêta, la fonction Têta présente de gros avantages :

_ Nous verrons qu’elle conserve un sens pour les valeurs négatives de n, ce qui permettra d’étendre l’investigation sur toute l’étendue des n réels, positifs et négatifs.

_ Elle reste définie pour  n=1. En effet, si on calcule q(1+ e), et si on se souvient que :

z(1+e) = (1 / e ) + g , on arrive à :

                                                  q(1+e) ~ q(1) = g

 

Retombées intéressantes de hn(x) :

 

            Développement de Ln(x!) :  Ln(x!) = - g . x + (z(2) . x2 / 2) – (z(3) . x3 / 3) .…+/- (z(q) . xq / q)

 

            Expression de la constante d’Euler :   g = z(2) / 2 - z(3) / 3 + z(4) / 4 ….+/- z(q) / q

 

Par ailleurs, en donnant à x des valeurs numériques, on peut faire apparaître des séries remarquables en z, notamment pour x = 1 :

 

z(2)  -  z(3)  +  z(4)  -  z(5)   …… ….  =  1

2z(3)  -  3z(4)  +  4z(5)  -  5z(6)  …… =  1

………………..etc…………………….

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                        CHAPITRE  :  SOMMES  DES  PUISSANCES  D’ENTIERS

 

 

Définitions :

 

Une somme de puissances d’entiers se présente sous la forme :      hp(x) = 1 + 2p + 3p.+ xp

p pouvant être égal ou supérieur à 0.

Dans le cas contraire, on tombe sur la série harmonique, puis sur les séries de Riemann qui ont été vues au chapitre précédent, et qui étaient dénommées hn(x). Le choix de l’indice p pour ces nouvelles sommes permet de différentier les deux catégories.

Différence fondamentale : les sommes étudiées dans ce chapitre doivent présenter un nombre de termes x fini, faute de quoi elles tendent elles-mêmes vers l’infini.

Nous les dénommerons ci-après « sommes ou séries de Bernoulli », du nom du mathématicien qui les a étudiées dès le début du dix-huitième siècle.

Il a notamment montré que ces sommes peuvent s’exprimer par des polynômes de degré p+1, dont les termes font apparaître les nombres dits également « nombres de Bernoulli », qui sont :

 

b0 = 1    b1 = 1/2    b2 = 1/6    b4 = - 1/30    b6 = 1/42    b8 = - 1/30    b10 = 5/66

………etc…………….

                        (A partir de b3, tous les b impairs sont nuls)

Par ailleurs, ces mêmes nombres sont généralement présentés comme étant les coefficients du développement taylorien de la fonction :  x / ( ex - 1) , avec une différence notable pour b1 qui vaut alors - 1/2.

            Dans les domaines abordés dans cette étude, la valeur 1/2 est beaucoup mieux adaptée. Si on tient à avoir une fonction génératrice, il suffit d’adopter :

                   

            [ x / ( ex - 1) ]  +  x  =  x / (1 - e-x )   

 

            L’expression générale de hp (x) est :

 

            hp (x) = C0 . xp+1  +  C1 . xp  +  C2 . xp-1   ….   + Cp . x

 

Le coefficient de rang q s’exprimant par :  Cq  =  (bq / q!) . p! / [(p+1-q)!]   (3)

           

On a ainsi, pour les premières expressions :

 

        q =     0                 1                    2                    4                    6

h1 (x) = (b0 /2) . x2  +  b1 . x                                      

h2 (x) = (b0 /3) . x3  +  b1 . x2   +         b2 . x             

h3 (x) = (b0 /4) . x4  +  b1 . x3   +   1,5 b2 . x2           

h4 (x) = (b0/5) . x5   +  b1 . x4   +      2 b2 . x3   +       b4 . x

h5 (x) = (b0/6) . x6   +  b1 . x5   +   2,5 b2 . x4   + 2,5 b4 . x2

h6 (x) = (b0/7) . x7   +  b1 . x6    +      3 b2 . x5    +    5 b4 . x3   +    b6 . x

…………………….etc………………………

            Soit :

 

h1 (x) = x2/2  + x/2

h2 (x) = x3/3 + x2/2 + x/6

h3 (x) = x4/4 + x3/2 + x2/4

h4 (x) = x5/5 + x4/2 + x3/3 – x/30

…………………….etc………………………………………………….

 

            Les fonctions hp s’inscrivent logiquement dans le prolongement des fonctions hn. On a notamment dans les deux cas :

                                                  h0 (x) = x

 

            Dans leur présentation polynômiale, les fonctions hp s’étendent aux valeurs non entières de x, et sont dérivables et intégrables. On peut en particulier retrouver la fonction qp définie comme la fonction qn, soit :

                     1

            qp = ∫  hp (x) . ∂x

                    0

Intégrons terme par terme la fonction hp (x), chaque terme étant de la forme :  Cp . xn+1- q

                Après intégration, le coefficient du terme courant devient :

 

Cp / (p+2-q) = (bq /q!) . p! / (p+2-q)!   , qu’on peut écrire :

 

                          = [1/(p+1)] . [(bq / q!) . (p+1)! / (p+2-q)!]

 

            On constate que le second facteur n’est autre que le coefficient du terme correspondant du polynôme de degré immédiatement supérieur.

Si on fait la même chose pour tous les termes de hp (x), on retrouvera, au facteur 1/ (p+1) près, la fonction hp(x), à laquelle il ne manquera que son dernier terme, soit bp+1 . x  . On arrive donc à :

            x

            hp (x) . ∂x  =  [h(p+1)(x)  -  bp+1 . x] / (p+1)

            0

            En intégrant de 0 à 1, on obtient finalement la fonction Têta :

 

            qp  =  (1 - bp+1) / (p+1)         (4)  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                        CHAPITRE  :  AMORCE  DE  SYNTHESE

 

 

            Nous disposons maintenant, avec la fonction Têta, d’un outil qui couvre l’ensemble des indices, tant du côté positif que du côté négatif, avec les particularités suivantes :

            _ Côté n (positif), il existe un lien avec la fonction Zêta, soit :

                                                                                                                         q(n) = z(n) – [1 / (n-1)] (2)   

            _ Côté p (négatif), il existe un lien avec les nombres de Bernoulli, soit :

                                                                                                                         q(p) =  (1 - bp+1) / (p+1) (4)    

 

            Il vient naturellement à l’idée de prolonger la fonction Zêta dans le domaine p, et les nombres de Bernoulli dans le domaine n.

 

            Prolongement de Zêta :

Quand on passe aux n négatifs, le p correspondant reste positif ; la formule (4) peut donc s’appliquer. Quant à la formule (2), elle devient :

                                                                                       z(n) = z(-p) = q(p) – [1 / (p+1)]

            Ce qui donne, en remplaçant q(p) :

                                                                                       z(-p) = - [ bp+1 / (p+1)]      (5)    

 

Première remarque : Sachant que les b impairs sont tous nuls, à l’exception de b1 = 1/2, il s’ensuit que tous les z négatifs pairs sont nuls. 

Deuxième remarque : la fonction z(-p) reproduit assez fidèlement le comportement de la fonction de Bernoulli, avec une alternance de valeurs positives et négatives dont l’amplitude commence par décroître jusqu’à z(-5) = - 1/252 , pour se mettre ensuite à croître indéfiniment.

 

On peut ainsi dresser le tableau de correspondance suivant :

 

b1 = 1/2         q0  = 1/2            z (0) = - 1/2

b2 = 1/6         q1 = 5/12          z (-1) = - 1/12

b4 = -1/30      q3  = 31/120      z (-3) = 1/120

b6 = 1/42       q5 = 31/240      z(-5) = 1/252

………………..etc………………..

 

Remarque : le raisonnement ci-dessus permet bien de faire apparaître une continuité de la fonction z de - ∞ à + ∞. Par contre, la définition initiale, soit :

z (n) = 1 + 2- n + 3- n …..  ne peut s’appliquer que pour n > 1, et conduit à une valeur non définie en deçà. Dans le cas contraire, on serait amené à écrire :

 

Pour n = - 1 :   z (-1) = 1 + 2 + 3 …..  = - 1/12   ce qui, évidemment, ne va pas de soi.

 

         Prolongement des nombres de Bernoulli :

            Comme on peut donner des valeurs aux z négatives, on peut également faire apparaître une notion de b négatifs en transformant la formule (5) :

 

            bp+1 / (p+1) = - z (-p) = z(n)   qui donne :  b-n = n.z (n+1)       (3)

 

            soit : b-1 = z (2)       b-2 = 2.z (3)       b-3 = 3.z (4)  ….etc

 

On trouvera ci-après rassemblées sur le même graphique les courbes représentatives des fonctions z, θ, b, de -à +∞.

 

 

 

 

 

 

 

 

On peut faire sur ces courbes les remarques suivantes :

Elles présentent toutes une branche non oscillante et une branche oscillante. Pour une bonne correspondance, les branches oscillantes ont été placées en partie gauche, ce qui conduit à voir la fonction Zêta comme à l’accoutumée, mais à inverser la représentation des nombres de Bernoulli.

Les parties oscillante et non oscillante des courbes se raccordent parfaitement, notamment pour la fonction de Bernoulli, ce qui n’aurait pas été le cas si on avait conservé b1 = - 1/2 .

Contrairement à Zêta, la fonction Têta ne présente aucune discontinuité, ce qui confirme son utilité pour assurer la transition entre les deux branches de Zêta.

Pour ses valeurs négatives paires, la fonction q retrouve celles de sa courbe « porteuse », d’équation 1/(1-n) . Pour ses valeurs impaires, elle est tantôt au-dessus, tantôt au-dessous, avec des oscillations qui vont en s’amplifiant (phénomène encore peu visible sur le graphique).

 

Autre approche possible :

Il existe une autre façon d’aborder les valeurs de la fonction Zêta pour les indices négatifs, en utilisant la fonction G (Gamma) , très proche de la fonction factorielle. On trouve par exemple dans certains formulaires :

                      z(1-x) = 21-x . p-x . G(x) . cos(p.x/2) . z(x)    (M. R. Spiegel  1995)

 

Dont la démonstration ne sera pas reproduite ici, mais qui conduit aux mêmes conclusions. En particulier, la présence du cosinus fait bien apparaître l’annulation de z pour les indices négatifs pairs, et les valeurs alternativement positives et négatives pour les impairs.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                        CHAPITRE  4  :  LES  SOMMES  PARADOXALES 

 

 

            Maintenant que nous pouvons aborder les valeurs négatives pour les indices de la fonction Zêta, il est évidemment tentant de transposer dans ce domaine les séries de Riemann, qui deviennent alors des sommes de puissances d’entiers, et de leur affecter comme somme la valeur correspondante de Zêta. Pour n = p = 0 , on aurait par exemple :

 

            1 / 10 + 1 / 20 + 1 / 30 ……. + 1 / x0 = z(0)        (x tendant vers l’infini)

 

 Soit :   1 + 1 + 1 + 1 ……. + 1 = - 1/2    alors que la valeur qui s’impose est manifestement x .

 

Poursuivons avec p = 1, soit n = -1 :

 

            1 / 1-1 + 1 / 2-1 + 1 / 3-1 ……+ 1 / x-1 = z(-1)

 

Soit :    1 + 2 + 3 + 4 …. + x = - 1 / 12    alors que la valeur calculée est :  x2 / 2 + x / 2

 

            En continuant le même type de raisonnement, on arrive à :

 

            1 + 22 + 32 + …….x2 = 0    alors que la valeur calculée est :  x3 / 3 + x2 / 2 + x / 6

 

            Comme on l’a vu, on trouverait des sommes nulles pour tous les exposants pairs.

            Pour les exposants impairs, on aurait comme résultats les valeurs correspondantes des Zêta négatifs, soit :  1 / 120 ,  -1 / 252  …etc. Alors que si x tend vers l’infini, toutes les sommes de puissances d’entiers font de même.

            Nous sommes évidemment en présence d’un vrai paradoxe, auquel il faut tenter d’apporter une explication, en recherchant où se trouve le point faible du développement ci-dessus.

            La fonction Têta étant parfaitement définie sur toute l’étendue des indices réels, ce point faible consiste, à l’évidence, à avoir adopté pour le domaine négatif la même relation Têta – Zêta que pour le domaine positif (formule (2). Pour s’en convaincre, il faut se souvenir que la formule (2) découle de l’intégration de la formule (1), laquelle n’a pas d’équivalent de même forme dans le domaine négatif.

            Ce motif est probablement suffisant pour considérer que les sommes paradoxales évoquées ci-dessus sont tout simplement fausses, ainsi que le simple bon sens le laissait prévoir.

 

            Cas particulier de la somme des entiers :

            Pour ce cas, un autre raisonnement a été proposé, basé sur des opérations simples portant sur certaines séries illimitées, soit :

 

            A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ….

 

            1 – A = 1 – [ 1 - 1 + 1 - 1 ….] = A , ce qui donne : 2 . A = 1 ,   donc :  A = 1 / 2 .

 

            Ce résultat semble irréfutable, car il correspond à ce que donne une méthode de calcul des séries alternées, même non convergentes (méthode par la moyenne des enveloppes).

 

            Considérons maintenant la série alternée des entiers, soit :

 

            B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5….

           

Si on lui additionne la série A et qu’on retranche 1, on tombe sur l’opposé de B, ce qui donne :

 

A + B -1 = - B  ,     conduisant finalement à B = 1 / 4 .

 

            La méthode de calcul par les enveloppes conduit au même résultat .

 

            Considérons maintenant une série D, définie comme suit :

 

               D = 0    4     0     8     0    12….    Et additionnons la avec la série B :

            + B = 1  - 2  + 3  - 4  + 5   - 6 …..  On obtient une série C, soit :

 

               C = 1 + 2  + 3  + 4  + 5  + 6 …  qui n’est autre que la somme illimitée des entiers.

 

            Si on admet de négliger la présence des 0 , la série D peut s’écrire :

 

            D = 4 . [ 1 + 2 + 3 …..] = 4 . C ,   ce qui ramène l’addition (D + B) à :

 

            (4 . C) + B = C ,  soit :  3 . C = - B ,  soit encore : C = (- B) / 3 = - 1 / 12

 

            On retombe sur la valeur calculée au chapitre précédent, soit z(-1), ce qui est de prime abord assez troublant.

 Confirmation ou coïncidence ?

 

Pour se prononcer sur ce raisonnement, on est naturellement amené à s’interroger sur la pertinence de l’escamotage des 0 de la série D, et on arrive rapidement à une réponse négative.

En effet, quand on écrit : D = 4 . C , et qu’on l’additionne à B, on oublie que des opérations terme à terme  impliquant deux séries infinies ne peuvent s’envisager que si les deux séries possèdent le même nombre de termes. C’est vrai pour la série D avec ses 0, mais cela ne l’est plus si on les enlève, car on divise alors son nombre de termes par 2. Si on reprend l’exemple ci-dessus avec 6 termes pour  4 . C comme pour B, l’addition : 4 . C + B devrait alors s’écrire :

 

4 . C = 4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 24  = 84  (au lieu de 24)

  + B = 1 – 2  + 3   – 4   + 5   - 6    = - 3

 

Le résultat serait alors égal à 81 au lieu de 21, et n’aurait plus rien à voir avec C.

 

Nous sommes donc amenés à considérer que la similitude des résultats obtenus par les deux démarches résulte :

Soit d’une simple coïncidence.

Soit d’une corrélation subtile entre les anomalies présentées par ces deux démarches, et qui conduirait à deux résultats identiques, tout en étant faux.

Cette corrélation reste à établir.

 

 

 

 

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