LES  IMPAIRS  DE  ZETA

 

 

        

 

 

 

 

 

 

Contribution à la théorie des nombres

 

pour les (presque) nuls

        

 

 

 

 

 

 

 

                   Claude Terracol

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                            INTRODUCTION

 

 

Les impairs de Zêta ne sont pas les bévues commises par une jeune personne écervelée. Zêta n’est pas une personne, c’est une fonction mathématique. Et elle est loin d’être jeune, puisqu’elle a été repérée dès le dix-septième siècle.

Son nom complet est Zêta von Riemann, du nom de son père adoptif, Bernhard Riemann, très célèbre mathématicien allemand, qui a régné, lui, sur le dix-neuvième siècle. Mais c’est presque une usurpation de paternité, car de nombreux autres mathématiciens s’étaient préoccupés du sujet pendant les deux siècles précédents.

Zêta était coriace. C’était une enfant difficile, qui a tenu la dragée haute à  ses prétendants tout au long de son premier siècle d’existence. Ce ne fut que dans les années 1730 qu’un autre grand mathématicien, suisse celui-là, Leonhard Euler, après avoir exploré consciencieusement le corsage bien garni de la belle, a fini par découvrir ce qu’il contenait, à savoir ses valeurs paires (ce qui est assez naturel dans un corsage). Il les a très clairement exprimées par des formules simples sur lesquelles nous reviendrons, car elles nous seront fort utiles.

La démonstration a été décrite par Marc Guinot dans son ouvrage « Ce diable d’homme d’Euler », qui constituera à peu près mon unique bibliographie (avec un ouvrage de Michel Zisman à l’usage des candidats à l’agrégation, c’est-à-dire peu accessible à nos modestes cerveaux, mais où je puiserai une intéressante formule, ainsi qu’un formulaire dû à Murray R. Spiegel où on trouve de nombreuses informations). Pour revenir à Guinot, immédiatement après l’exposé de la théorie des valeurs paires, il ajoute : « en ce qui concerne les valeurs pour n impair, le mystère reste, de nos jours, aussi épais que du temps d’Euler ». Zisman abonde dans le même sens : « les valeurs de la fonction Zêta pour les entiers impairs gardent encore tout leur mystère. »

De telles phrases donnent irrésistiblement envie de se pencher sur la question, et, le corsage ayant été exploré, d’aller voir un peu sous les jupes où, peut-être, se nichent ces fameuses valeurs impaires. (Ce qu’Euler n’a apparemment pas osé faire, peut-être en raison des mœurs assez austères de son époque et de son pays). Avec toute l’inconscience des profanes, j’ai donc entrepris d’examiner la question par moi-même, espérant y trouver un peu de distraction pour les jours de pluie. Sur ce point, je n’ai pas été déçu, même si mes résultats paraîtront sans doute assez minces. Concernant ces résultats, je crains d’ailleurs qu’une bonne partie soit déjà connue, et que je n’aie fait que les retrouver. Mais je caresse l’espoir que certains sont peut-être originaux, et pourraient donc donner matière à de nouvelles réflexions.

 

Guinot se définit lui-même comme un autodidacte, et déclare qu’il travaille pour les amateurs, ce qui est en gros exact (encore que les « anneaux commutatifs de séries formelles » soient peu familiers au grand public). L’essentiel de son ouvrage est en effet compréhensible pour les « presque nuls », dont je fais partie. Je ne saurais donc trop en recommander la lecture avant d’entreprendre celle du mien, car j’y ferai souvent référence. On s’intéressera notamment aux chapitres C1 (nombres de Bernoulli), C3 (séries de Riemann), C4 (série harmonique), et, C6 (formule sommatoire d’Euler - Mac Laurin).

Merci donc à Marc Guinot, qui m’a fait découvrir ce problème, et m’a fourni beaucoup d’éléments permettant d’y travailler. Merci également aux éditions ALEAS et à leur action de vulgarisation à l’intention des presque nuls.

 

Et maintenant courage, cher lecteur presque nul ! Et partons sans complexes à l’assaut du donjon fortifié nommé Zêta, ou des jupons de Mademoiselle von Riemann, selon que vous avez l’âme plutôt guerrière ou plutôt libertine.    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                            PREMIERE PARTIE :

 

 

         APPROCHE  « HYPERFACTORIELLES »

 

 

 

 

 

CHAPITRE 1 :  FONCTIONS  « h »

 

ET DERIVEES LOGARITHMIQUES DE LA FACTORIELLE

 

 

Désignons par « fonction h » une série de Riemann arrêtée à une valeur finie x :

 

 hn(x)  =  1  +  1/ 2ⁿ  +  1/ 3ⁿ  +  1/ 4ⁿ   …..  +  1/ xⁿ    

 

Nous ne considérons ici que les valeurs entières de n.

 

Pour les valeurs : n > 1, la fonction admet une valeur asymptotique qu’on nomme z(n) (fonction Zêta), de plus en plus petite quand n augmente, et tendant vers la valeur limite 1.

Pour la valeur : n = 0, la fonction se présente comme une suite de 1, sa valeur courante étant h1(x) = x.

Pour la valeur : n = -1, la fonction devient :

 

 h-1(x) = 1 + 2 + 3 +…..x = x2 / 2 + x / 2     (sommation des entiers limitée à x)                 

Si on poursuit avec les valeurs négatives suivantes de n, on rencontre des expressions en forme de polynômes de degrés positifs croissant, qui n’admettent pas d’asymptote. La notion de fonction Zêta n’existe donc pas dans cette catégorie.

Pour le cas particulier : n = 1 , il a été démontré que la fonction h1(x)                                                                               tend vers Ln(x) + g. ( g : constante d'Euler, valant approximativement 0,577).

 

Une fonction h se présente comme une série de marches d’escalier, et il est intéressant de voir si on peut l’étendre aux valeurs non entières de x pour en faire une courbe continue passant par les sommets des marches. Commençons par la fonction h1.

Pour parvenir au but recherché, on peut partir des dérivées de la fonction factorielle, considérée sous sa forme logarithmique, dont l’expression la plus générale est :

 

Ln(x!) = Ln(z!) + Ln(z+1) + Ln(z+2) … + … Ln(x)

 

Expression valable pour toutes les valeurs de x et de z, entières ou pas, à condition que la différence (x – z) soit un nombre entier.

Ainsi présentée, cette formule est assez peu intéressante, mais le devient sous sa forme dérivée, et en faisant z = 0 :

 

[Ln(x!)]’(x) = [Ln(x!)]’(0) + [Ln(x)]’(1) + [Ln(x)]’(2) … + … [Ln(x)]’(x)

 

La dérivation est légitime dans la mesure où la formule de base reste valable si on remplace x par x+∂x, 0 par ∂x, 1 par 1+∂x,… etc.

 

Sachant que [Ln(x)]’ = 1/x, la formule de la première dérivée devient :

 

[Ln(x!)]’(x) = [Ln(x!)]’(0) + 1 + 1/2 + 1/3 … + …. 1/x  =  [Ln(x!)]’(0) + h1(x) 

 

Pour calculer la valeur de [Ln(x!)]’(0), on peut considérer que ce premier terme ne change pas si on remplace x par n, n tendant vers l’infini. On a alors :

 

h1(n) = Ln(n) + g     et :  [Ln(x!)]’(n) = Ln(n)

 

Cette seconde propriété, quasi évidente, peut se démontrer en écrivant :

 

Ln[(n+a)!] = Ln(n!) + Ln(n+1) + Ln(n+2) … + … Ln(n+a)

 

Avec Ln(n+1) = Ln(n) + 1/n ,  Ln(n+2) = Ln(n) + 2/n …. Ln(n+a) = Ln(n) + a/n

 

            Etant convenu que a est un nombre fini, toutes les expressions ci-dessus se ramènent à Ln(n). Par conséquent, si on donne à a les valeurs successives 1, 2, 3 … etc, la fonction Ln(x!) augmente de Ln(n) à chaque nouvelle unité. Au voisinage de n, cette fonction a donc une allure linéaire, avec une pente égale à Ln(n), cette pente n’étant autre que [Ln(x!)]’(n).

            Bref, il résulte de tout cela :

 

            Ln(n) = [Ln(x!)]’(0) + Ln(n) + g ,  soit : [Ln(x!)]’(0) = - g

 

            On peut maintenant repasser à x quelconque en écrivant la première dérivée :

            [Ln(x!)]’ = - g + h1(x)

 

            Calcul des dérivées suivantes :

 

            Ces dérivées ne sont autres que les dérivées successives de h1(x), que nous pouvons calculer en passant une nouvelle fois par un nombre infini n :

 

            h1(x+n) = h1(x) + 1/(x+1) + 1/(x+2) … + … 1/(x+n)

 

            Soit, en dérivant :

 

            0 = [h1(x)]’ – [1/(x+1)2 + 1/(x+2)2 … + … 1/(x+n)2]

 

            La valeur zéro vient de ce que la dérivée de h1(x+n) se confond avec celle de Ln(x+n), soit 1/(x+n).

            L’expression entre [ ] n’est autre que la différence (z(2) – h2(x)), ce qui donne pour [h1(x)]’, c’est-à-dire [Ln(x!)]’’ :

 

            [Ln(x!)]’’ = z(2) – h2(x)

 

            Pour la suite, en notant que :

 

            [1/(x+n)2]’ = - 2! /(x+n)3  ,   [- 2!/(x+n)3]’ = 3! /(x+n)4etc

 

            On arrive à la suite des dérivées suivantes :

 

            [Ln(x!)](3) = - 2! [z(3) – h3(x)]

 

            [Ln(x!)](4) =   3! [z(4) – h4(x)]

                ……………………………

            [Ln(x!)](p) = +/-  (p-1)! [z(p) – hp(x)]   (signe + pour valeurs paires de p)

 

            Notons que, quand x→∞, toutes ces dérivées tendent vers zéro, à l’exception de la première qui tend vers l’infini, mais un infini nettement plus petit que x, puisqu’il est logarithmique.

 

            - Puis-je me permettre une remarque de béotien, cher auteur ?

 

            - Mais je vous en prie, cher lecteur presque nul. Faites donc.

 

            - Il y a donc des infinis plus petits que les autres ? Dans ma naïveté, je pensais que cette notion d’infini n’avait rien de relatif. Pour moi, l’infini, c’est l’infini, point.

 

- Aïe ! J’ai mis le doigt dans un engrenage qui pourrait me valoir quelques démêlés avec les puristes sourcilleux. Tant pis, j’assume : oui, pour moi, il y a des degrés dans l’infini, et les logarithmes en donnent un exemple très parlant. Ln(x) est toujours plus petit que x, et la disproportion ne fait que s’accentuer quand x croît. Tenez, cela me rappelle une expression amusante que j’ai entendu employer à propos de personnes, disons un peu prétentieuses : « celui-là, il ne se prend pas pour son logarithme ! »  

 

            - Très bonne, cette expression. Je vais la noter. Mais au fait, s’il y a des degrés dans l’infiniment grand, il doit y en avoir aussi dans l’infiniment petit. Par exemple, 1/Ln(x) doit être plus grand que 1/x, bien que les deux tendent vers zéro quand x tend vers l’infini.

 

            - C’est tout à fait bien vu, cher lecteur pas si nul que cela. Au passage, je vous signale que 1/Ln(x) n’est autre que la densité des nombres premiers autour de x, avec d’autant plus de précision que x devient plus grand. Vous voyez que tout se tient.

            Et que dire des puissances ! Si x tend vers zéro, x2, x3, x4etc font de même, mais chaque puissance étant infiniment plus petite que la précédente.

 

            - A ce jeu, on est vite à l’échelle atomique….

 

            - Et même bien au-delà. Pour le théoricien, l’atome n’est pas infiniment petit, puisqu’il a une dimension. Il est seulement très petit, mais l’expression n’a de sens que si on le compare à autre chose, à nous par exemple. Si on le compare à certaines particules dont j’ignore jusqu’au nom, il est sans doute très gros.

            La physique nous assigne des limites, du moins peut-on le penser, mais pour le mathématicien, pas de limites. Combien de puissances de dix voulez-vous vers le haut ? Combien en voulez-vous vers le bas ? Je vous en mets autant que vous voulez, vous ne paierez pas plus cher.

 

            - C’est-à-dire le prix de votre bouquin (qui, soit dit en passant… bon, enfin).

 

            - Avoir l’infini pour ce prix-là, si vous trouvez mieux dans le commerce, je vous rembourse la différence. Mais je commence peut-être à vous lasser un peu avec cette digression philosophique (si j’ose employer ce mot, qui fait peut-être un peu pédant sous ma plume).

 

            - Pas du tout, cher auteur, pas du tout, d’autant que c’est moi qui l’ai lancée, cette digression. Et je vous signale au passage que je suis plutôt moins nul en philosophie qu’en mathématiques. (Je me permets ce comparatif « moins nul » depuis que vous m’avez fait entrevoir les différents degrés de l’infiniment petit. Avant, je n’aurais jamais osé).

            Et de plus, nous sommes en excellente compagnie : Thalès de Milet, Pythagore, Pascal, n’étaient-ils pas à la fois de grands mathématiciens et de grands philosophes ?

 

            - Là, vous visez plus haut que je n’aurais osé le faire, vu ma modestie. Maintenons donc nos prétentions à un niveau fini.

 

            - Cela dit, je crains d’avoir un peu (par ma faute) perdu le fil de votre démonstration. Pourrions-nous recentrer ?

 

            - Aucun problème, car nous en avions juste terminé avec ce premier chapitre, dont l’ambition était de calculer les dérivées de Ln(x!). On trouve d’ailleurs dans Guinot la première de ces dérivées, mais sous une forme due à Weierstrass que je trouve bien alambiquée. Par contre, à moins que cela m’ait échappé, on n’y trouve pas les dérivées suivantes, qui seront pour nous essentielles dans la suite.

 

            - En somme, vous prenez le relais tendu par Guinot.

 

            - C’est à peu près cela. Et encore en disant merci, car sans lui, je n’aurais jamais eu l’idée de partir dans cette aventure. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CHAPITRE 2 :   EXPRESSIONS TAYLORIENNES DES FONCTIONS h

 

 

Repartons de la formule générale établie au chapitre 1 :

 

[Ln(x!)](p)(x)  = +/- (p-1)! [z(p) – hp(x)]   =   +/- (p-1)! z(p) -/+ (p-1)! hp(x)

 

            Et comparons là au développement taylorien de cette même dérivée :

 

[Ln(x!)](p)(x) = [Ln(x!)](p)(0) + [Ln(x!)](p+1)(0).x + [Ln(x!)](p+2)(0).x2/2! ....                                                                          ……………… + [Ln(x!)](p+k)(0).xk/k!

 

            Puisque nous ne nous intéressons pour cette dernière expression qu’aux dérivées pour x = 0, et que hp(0) = 0, nous pouvons ne conserver de la première formule que le terme z(p) pour calculer les termes de la seconde, soit :

 

[Ln(x!)](p)(x) = +/- (p-1)! z(p) -/+ p! z(p+1).x +/- (p+1)! z(p+2).x2/2! …

……………..   +/-  (p+k-1)! z(p+k).xk/k!

 

On peut maintenant égaler les deux expressions de [Ln(x!)](p), en notant au passage l’élimination du terme (p-1)! z(p) ainsi que la compensation des inversions de signes, ce qui nous laisse finalement

 (en écrivant : Ckp+ k-1 = (p+k-1)! / [(p-1)! k!] ) :

                         2                                 3                                            p

hp(x) = p.z (p+1).x – C . z (p+2).x² + C . z (p+ 3).x³…. +/- C . z (p+k).xk    (1)                                                                                                                                                                                               

                                 p+1                               p+2                                      p+k-1                                      Cette formule a l’honneur d’être numérotée, car elle va s’avérer très importante dans la suite de cette étude.

Pour les premières valeurs de p, elle devient :

 

h1(x)  =  z(2).x  -  z(3).x²  +  z(4).x³  - .......

h2(x)  =  2z(3).x  -  3z(4).x²  +  4z(5).x³  -  ……

h3(x)  =  3z(4).x  -  6z(5).x²  +  10z(6).x³  -  …..

................................etc.........................

 

Fonctions parfaitement continues et dérivables, qu’on peut utiliser pour tracer point par point les courbes hp(x), et qu’on peut même étendre aux valeurs négatives de x, en se limitant à x = -1 (si on va au-delà, les fonctions h divergent.) Pour les calculs numériques, on choisira de préférence un x compris entre 0 et 1 (ou entre - 0,5 et 0,5) pour avoir la convergence. On peut ensuite passer à toute autre valeur de x par sauts successifs d’une unité.

En donnant à x des valeurs numériques, on peut faire apparaître des séries remarquables en z, notamment pour x = 1 :

 

z(2)  -  z(3)  +  z(4)  -  z(5)   …… ….  =  1

2z(3)  -  3z(4)  +  4z(5)  -  5z(6)  …… =  1

………………..etc…………………….

 

            - Hum, hum…

 

- Qu’y a-t-il, cher lecteur presque nul ? Je vous sens troublé.

 

- Il y a que les deux séries remarquables que vous venez de me présenter sont tellement remarquables qu’elles sont impossibles à évaluer, n’étant pas convergentes. Et je crains que celles qui s’annoncent à la suite soient encore pires.

 

- Effectivement. Les coefficients numériques augmentant rapidement, elles sont de moins en moins convergentes. Et pourtant, elles ont toutes la même valeur : 1. Et pour faire bonne mesure, vous verrez dans la suite que je n’hésite pas à utiliser la formule (1) pour des valeurs de x supérieures à 1, ce qui accentue encore la divergence.

 

- Eh bien, cher auteur, vous voilà pris en flagrant délit d’hérésie, et je commence à me demander si vous n’êtes pas presque aussi nul que moi. Prenez n’importe quel formulaire, à commencer par ce Spiegel dont vous faites grand cas. Vous y verrez que seules les séries convergentes ont droit de cité. Par exemple :

1 – x + x2 – x3 + x4 …. = 1/ (x+1)      mais pour : -1˂ x ˂1

 

            - Oseriez-vous contester ce qu’on peut trouver un peu partout ? Je crains d’avoir à maintenir mon accusation d’hérésie. Le bûcher n’est pas loin.

 

            - Eh bien, j’assume mon hérésie, et je me sens en excellente compagnie. La première église chrétienne n’était-elle pas hérétique à Rome ? Et les savants de la Renaissance n’étaient-ils pas hérétiques aux yeux de cette même église chrétienne ? (qui avait pris le pouvoir spirituel entre temps, ceci expliquant cela).

 

            - Vous voilà donc dans la lignée de Saint jean Baptiste et de Galilée. Pour un soi-disant modeste, vous ne vous mouchez pas du coude, cher auteur.

 

- Je me mouche comme je peux. Mais je maintiens que la série que vous me citez conserve son résultat même pour x ˃ 1. Comme j’avais prévu ce genre d’objection, et comme toute cette étude sera truffée de séries divergentes, je vous engage dès maintenant à lire l’annexe 1 : « Séries alternées ». J’espère que cette lecture vous convaincra.

 

Mais je ne vais pas me laisser détourner par cette controverse. Poursuivons donc :

Les fonctions h étant maintenant définies pour les nombres non entiers, on peut les dériver et les intégrer, ce qui donne lieu aux formules suivantes, découlant directement de la formule (1) :

 

            hp’(x)  =  p.[ z(p+1) - hp+1(x) ]

            x

            hp(x). ∂x  =  z(p).x  - [ hp-1(x) / (p-1) ]

            0

Cette dernière formule étant particulièrement intéressante si on intègre de 0 à 1. On obtient alors une fonction que nous nommerons θp et qui vaut :

 

                      1       

            θp  =  hp(x). ∂x  =  z(p)  -  [ 1/ (p-1) ]

                     0

            Le sens géométrique de cette expression étant l’aire comprise entre l’axe des abscisses et la courbe représentative de hp(x), entre 0 et 1.

            Notons que les formules ci-dessus continuent à s’appliquer quand p n’est pas entier, étant donné que les z comme les factorielles gardent un sens pour des variables non entières.

On verra dans l’annexe 2 : « Nombres de Bernoulli », dont je vous recommande la lecture dès maintenant, que la fonction θ permet de généraliser de - ∞  à + ∞  la corrélation Zêta / Bernoulli.

Notons toutefois que sa formule ne s’applique pas pour p=1, z(1) n’étant pas définie. On peut facilement tourner cette difficulté en reprenant la dérivée logarithmique établie au chapitre précédent :

 

[Ln(x!)]’ = - g + h1(x),     dont la forme intégrée est :

                          x                                      x

Ln(x!) = - g.x + ∫ h1(x).∂x     soit :   h1(x) = g.x + Ln(x!)

                          0                                     0

Ce qui donne, avec x = 1 :  θ1 =  g

            Enfin, si on remplace h1(x) par son développement selon la formule (1), et si on intègre, on arrive au développement de Ln(x!) :

 

            Ln(x!) = - g.x + z(2).x2/2 - z(3).x3/3 …. +/- z(q).xq/q

           

            Et, en faisant x = 1, à l’expression développée de la constante d’Euler :

 

            g = z(2) /2 - z(3) /3 + z(4) /4  …. z(q) /q

 

            J’espère au moins, cher lecteur, que vous n’allez pas me contester cette dernière expression qui est, vous l’avez remarqué, parfaitement convergente

 

- Je vois que vous m’en voulez encore pour mon petit accès de mauvaise humeur et mon accusation d’hérésie, mais sachez que je ne suis pas un intégriste de la convergence et que je ne demande donc qu’à me laisser convaincre. Je vais de ce pas me précipiter sur votre annexe 2 pour voir ce que vous allez me sortir de votre chapeau.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    CHAPITRE  :  PASSAGE DES FONCTIONS h A LA FONCTION  z

 

 

Si on fait x = 1 dans la formule générale (1), on arrive à une expression qui fournit la valeur d’un z (p) quelconque en fonction des valeurs suivantes z (p+1), z (p+2)… etc.

 

z (p) = 1/(p-1) + p.z(p+1)/2! - p(p+1).z(p+2)/3! + p(p+1)(p+2).z(p+3)/4!...  (2)               

 

            Pour les premières valeurs impaires de Zêta, la formule donne :

 

z (3) = (1/2). [1 +   3.z (4)  -  4.z (5)   + 5.z (6) ….]                            (2.3)

 

z (5) = (1/4). [1 + 10.z (6) - 20.z (7) + 35.z (8) ….]                            (2.5)

 

Cette formule (2) est valable pour toutes les valeurs de p, et on peut envisager de l’étendre aux valeurs négatives, avec un cas particulier pour p = 1, qu’on peut exprimer comme suit, en remplaçant 1 par 1+e ou par 1-e. La formule (2) devient alors :

 

z (1+e) = 1/ e  + g ou     z (1-e) = - 1/ e  + g                                (3)

 

Mais je vois s'allumer un clignotant qui nous rappelle que la fonction Zêta n’a justement plus aucun sens pour les indices négatifs. Pour traiter cette catégorie, nous devons donc admettre que la fonction z (p) définie par la formule (2) se confond avec la fonction z(n) présentée au chapitre 1, mais seulement pour les indices positifs. Quand on est dans les indices négatifs, seule la fonction z(p) conserve un sens, la fonction z(n) devenant alors systématiquement infinie.

Pour une question de commodité, nous conserverons l’appellation « Zêta » pour les deux fonctions, qui serons différentiées par les indices, n étant réservé aux indices positifs, alors que p vaut pour tous les indices.

 

            Quand on va vers les p décroissants, on constate que la fonction devient oscillante et s’annule pour tous les p négatifs pairs. Les autres valeurs sont :

 

            z (0) = -1/2    z (-1) = -1/12    z (-3) =1/120    z (-5) = -1/252 … etc

           

            En fait, ces calculs sont rendus possibles parce que les séries selon la formule (2) ne sont plus illimitées, mais s’arrêtent à z (1+e). (voir chapitre suivant)

           

            Nous verrons que l’analyse plus poussée de la fonction autour des points où elle s’annule (p négatifs pairs) sera fondamentale pour progresser vers le but recherché ici, à savoir les valeurs positives impaires. Ce qui contredit Guinot quand il déclare que ces cas sont « sans intérêt » (p 248).

            Ce comportement de la fonction Zêta n’est pas sans rappeler celui des nombres de Bernoulli. En fait, on peut mettre en évidence une relation étroite, à savoir :

                        z(p) = - b(1-p) / (1-p)         (4)

 

            Soit : z(0) = -b1    z(-1) = -b2 / 2    z(-3) = -b4 /4 … etc.

 

            Avec quelques remarques :

            - Après avoir convergé, la fonction Zêta part en divergence quand on augmente les valeurs absolues des p négatifs, comme le font les nombres de Bernoulli, mais un peu moins vite.

            - Le cas particulier de z(0) suppose que b1 = 1/2, (et non -1/2 comme on l’admet généralement).

            - La formule reliant Zêta et Bernoulli peut également s’écrire :

 

            bp / p = - z [ - (p-1) ]              (4’)

 

            Pour une bonne compréhension de ces notions, je rappelle à mon lecteur presque nul qu’il le sera moins quand il aura lu l’annexe 2. 

 

 

 

            CHAPITRE  3 bis : CALCUL NUMERIQUE DES z(p) ENTIERS

 

            Dans ce chapitre, nous ajouterons systématiquement aux indices p une quantité e infiniment petite, afin de lever les indéterminations.

            Nous avons déjà établi :

                                                    z (1+e) = 1/ e  + g      

 

Les valeurs suivantes peuvent être exprimées par la formule (2), soit :

 

            z(e) = -1 + (e / 2).(1/e + g) - [ e . (1+e) / 3!] . z(2+e)

                   = -1 + 1/2 = -1/2

On constate que les termes à partir du troisième sont nuls. (présence du facteur e). Le calcul se limite donc aux deux premiers termes.

 

            z(-1 + e) = - 1/2 + [(-1+e) / 2!] . (-1/2) – [(-1+e).(e).(1/e + g) / 3!]

                           = - 1/2 + 1/4 + 1/6 = - 1/12

            Cette fois, l’annulation apparaît au quatrième terme. On peut noter que le terme z(1+e) constitue une limite qu’on ne peut pas dépasser. Comme on part d’un indice p qui diminue de 1à chaque fois, il s’ensuit que le nombre de termes à considérer augmente, lui, de 1. Ce qui donnera pour la suite :

 

            z(-2+e) = - 1/3 + [(-2+e) / 2!] . (-1/12) - [(-2+e).(-1+e) / 3!] . (-1/2)

 

                                                                         + [(-2+e).(-1+e).(e) / 4!] . (1/e + g)

 

                        = -1/3 + 1/12 + 1/6  + 1/12 = 0

 

            z(-3+e) = - 1/4 + [(-3+e) / 2!] . 0 - [(-3+e).(-2+e) / 3!] . (-1/12)

                         

+ [(-3+e).(-2+e).(-1+e) / 4!] . (-1/2) - [(-3+e).(-2+e).(-1+e).(e) / 5!] . (1/e + g)

 

                        = -1/4 + 0 + 1/12 + 1/8 + 1/20 = 1/120

 

            On peut vérifier que toutes ces valeurs satisfont bien la formule (4), en rappelant que les premiers nombres de Bernoulli sont :

 

b1 = 1/2        b2 = 1/6       b3 = 0        b4 = - 1/30        b5 = 0         b6 = 1/42 …

CHAPITRE 4 :   RELATION  ENTRE LES  z  POSITIFS

 

                                        ET LES  z  NEGATIFS

 

 

            Au chapitre précédent, nous avons établi une relation entre les nombres de Bernoulli et les valeurs de z(p) pour p négatif.

            Or, on connaît également la relation établie par Euler entre les nombres de Bernoulli et les valeurs de z(p) pour p positif :

 

            bp  =  +/-  [ 2 x p! x z(p) ] / (2p)p                               (Guinot p. 265)

 

            On peut transformer cette formule en une fonction continue en considérant bn comme la projection horizontale d’un vecteur tournant :

 

            bp  =  -  [ 2 x p! . z(p) . cos(pp/2) ] / (2p)p                                        (5)

                                                                                                                          

            Le rapprochement des formules (4) et (5) donne :

 

            z(p)  =  z [- (p-1)] . (2p)p / [ 2. (p-1)!  cos(pp/2) ]

 

            J’ai cru un certain temps avoir établi cette formule, jusqu’à ce que je la découvre (écrite en petits caractères) dans le formulaire Spiegel (p. 184).

             

            - Quand on est presque nul, il faut savoir rester modeste…

 

- D’accord, cher lecteur, avec cette remarque sévère et néanmoins justifiée. Mais c’est maintenant que les choses vont devenir intéressantes, car la formule ci-dessus fait apparaître un espoir de parvenir aux z positifs impairs à partir des  z négatifs pairs. Hélas, on tombe alors sur une indétermination, les z négatifs pairs étant tous nuls, de même que les cosinus du dénominateur. Selon une méthode qui a fait ses preuves, on peut lever l’indétermination en remplaçant p par p+e, ce qui permet d’établir une relation particulièrement excitante entre z(p) et z’[- (p-1)] :

 

z(p)  =  +/-  z[ - (p-1)] . [ 2.(2p)p-1/ (p-1)!]    (6)    (signe - pour p = 3, 7… etc)        

                                                                                  (signe + pour p = 5, 9… etc)   

 

Cette formule (6) va constituer une étape essentielle de notre démarche, qui va maintenant s’orienter vers le calcul des dérivées z’(p) pour les valeurs :

 

                        p = - 2             qui conduira à z(3)

                        p = - 4             qui conduira à z(5)

 

Au-delà, il faut s’attendre à ce que la lassitude commence à nous gagner, mais nous serons déjà bien satisfaits si nous voyons apparaître une procédure qui permettrait de continuer, du moins en principe.

 

- Il n’est pas interdit de rêver.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CHAPITRE 5 : DERIVATIONS DE LA FONCTION ZETA

 

 

Nous avons vu qu’on peut utiliser la formule 2 pour calculer les z négatifs. Mais on peut calculer également les dérivées en remplaçant systématiquement p par p+e :

 

z (p+e)  =  1/(p+e-1)  +  (p+e).z (p+e+1) /2!  -  (p+e) (p+e+1).z (p+e+2) /3!  ….

 

Commençons par z(e)  ( p = 0) :

 

z (e)  =  1/( e-1)  +  e. z (1+e) /2!  -  e. (1+e).z (2+e) /3!  +  e. (1+e).(2+e).z (3+e) /4! .. ..

En faisant appel à la formule (3) pour le deuxième terme, on arrive à :

 

z (e)  =  -1/2  +  e. [ -1 + g /2 - ( z (2) /6  -  z (3) /12 + z (4) /20  ….) ]

 

La parenthèse en z peut s’écrire :  C2 - C3,  avec :

 

C2 = (z (2) / 2) - (z (3) / 3) + (z (4) / 4) - …..

 

C3 = (z (2) / 3) - (z (3) / 4) + (z (4) / 5) - ….

 

Ce qui donne, tous calculs faits :

 

z (e) = - 1/2  + e. ( - 1 + g /2 - C2 + C3)                                          

 

On retrouve bien z (0) = -1/2, la dérivée z’ (0) étant : ( - 1 + g /2 - C2 + C3)

 

            En anticipant sur les chapitres suivants qui conduiront aux expressions analytiques : C2 = g  et : C3 = 1 + g /2 - Ln (2p) /2, on arrive à :

 

            z (e) = - 1/2 - e. [1 + C2 /2 - C3]                                                       (7)

 

            Ou encore :

 

z (e) = - 1/2 - e. [Ln (2p) /2]                                                             (7’)

 

Si on passe à z (-1+e)  ,   (n = - 1) , on a :

 

z (- 1 + e)  =  1/(- 2 + e)  +  (- 1 + e).z (e) /2!  -  (- 1 + e) (e).z (1 + e) /3!

  +  (- 1 + e) (e) (1 + e).z (2 + e) /4! .....

 

On peut remarquer que les termes finis ne vont pas au-delà du troisième, mais que les termes en e constituent une suite infinie, avec introduction de la constante  C4  =  (z (2) / 4)    (z (3) / 5)  +  (z (4) / 6) - ….

 

Ce qui donne, tous calculs faits :

 

z (- 1 + e) = - 1/12 - e. (1/6 + C2 /12 - C3 /2 + C4 /2)                          (8)

 

En poursuivant le processus, on trouvera de même (mais en plus compliqué) :

z (- 2 + e)  = - e. (- 1/36 + C3 /6 - C4 /2 + C5 /3)                                 (9)

 

z (- 3 + e)  =  1/120 + e. ( 1/180 + C2 /120 - C4 /4 + C5 /2 - C6 /4)    (10)

 

z (- 4 + e)  =  e. ( 13/1800 - C3 /30 + C5 /3 - C6 /2 + C7 /5)               (11)

 

Les dérivées qui nous intéressent sont évidemment celles des formules (9) et (11) , qui valent approximativement  - 0,03046  et  0,007984. En multipliant ces nombres par -(2π et (2π)4 /12, comme le suggère la formule (6), on obtient 1,202 et 1,037, valeurs correspondant bien à z(3) et à z(5).

Cette vérification numérique permettant de considérer cette étape comme raisonnablement validée, il reste à trouver une formulation aussi analytique que possible des constantes C3 à C7.

Ces formules sont intéressantes dans la mesure où les constantes C résultent de séries convergentes, et peuvent donc être calculées avec toute la précision souhaitée. Malheureusement, la poursuite du processus au-delà de z (5) donne lieu à des calculs extrêmement compliqués, et on ne voit se dessiner aucune formule analytique.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CHAPITRE 6 : CALCUL DES CONSTANTES C

 

 

Formule générale de Cn :

 

Cn  =  z (2) /n  -  z (3) /(n+1)  +  z (4) /(n+2)      +/-  z (p) /(n+p-2)

 

En décomposant les z, on peut mettre l’expression sous la forme d’un tableau :

         1/ n      +     1/ (2².n)         +      1/ (3².n)      …..   +     1/ (q².n)

- [ 1/ (n+1)   +  1/ (2³.(n+1))     +   1/ (3³.(n+1))    ….  +      1/ (q³.(n+1)) ]

.................................................................................

    +/-  [ (1/ (n+p-2)  + 1/ (2p.(n+p-2)) + 1/ ((3p.(n+p-2))     +    1/ (qp.(n+p-2)) ]

 

En travaillant ce tableau, on arrive à la nouvelle présentation ci-après :

 

    +/-  [ Ln(2) + 2n-2.Ln(3/2) + 3n-2.Ln(4/3)   ….      + qn-2.Ln((q+1)/q)    ]

                -/+ [ 1        + 2n-3                  +  3n-3      …..                +  qn-3                             ]

      +/-   (1/2) [ 1       +  2n-4                +  3n-4       ……           +  qn-4                             ]   

       -/+  (1/3) [ 1       +  2n-5                 +  3n-5          ……        +  qn-5                        ]

…………………………………………………………………………

   -/+  (1/(n-2) [ 1       +1                    +1                                + 1                           ]

   +/-  (1/(n-1) [ 1      +  1/2                +  1/3       ……..          +  1/q                       ]

 

Pour éviter une excessive complexité, poursuivons en donnant à n ses valeurs numériques successives :

 

n = 2 :    Le tableau se limite à ses deux premières lignes :

 

C2  =  - [ Ln(2) + Ln(3/2) + Ln(4/3) …   + Ln((q+1) /q )]

          + [ 1        +     1/2    +    1/3        +    1 /q             ]

 

 C2  = - Ln(q) + h1(q)     soit :           C2 = g                             (12)

 

Résultat confirmant ce qui a été vu au chapitre 1.

 

 

n = 3 :   On doit prendre les trois premières lignes :

      

C3  =  [ Ln(2) + 2 Ln(3/2) + 3 Ln(4/3)     + q Ln( (q+1) /q ) ]

        -  [ 1       +      1         +     1               +     1                     ]

            + (1/2) [ 1      +     1/2       +    1/3             +    1/q                   ]

 

Après travail de l’expression, on arrive à :

 

C3 = - Ln(q!) + ( q + 1/2) Ln(q) – q + g /2 + 1                         (13)

 

 

 

 

n = 4 :  On doit prendre les quatre premières lignes :

 

 

C4  =  - [ Ln(2) + 4 Ln(3/2) + 9 Ln(4/3)     + q² Ln( (q+1) /q )]  

          + [    1     +    2           +   3                +    q                      ]

  - (1/2) [    1     +    1           +   1                +    1                      ]

 + (1/3)  [   1     +   1/2         +  1/3              +   1/q )                 ]

 

La première ligne, un peu plus difficile à calculer, mérite un examen approfondi. On peut l’écrire :

                                                                               

- q² Ln(q + 1) + Ln[ 23   x  35   x  47      …….  x  q2q-1   ]

       =   - q² Ln(q) – q + 1/2  +  Ln (E)

 

L’expression dont on prend le Logarithme, soit E, peut être mise sous forme matricielle :

 

2        2   2

3        3   3   3   3

4        4   4   4   4   4   4

…………………………

q   q   q   q   q   q   q   q   q   q  …..   q

 

Si on compare cette matrice avec la matrice rectangulaire complétée, qui comporte (q-1) lignes et (2q-1) colonnes, on a :

 

E = (q!)2q-1 / D

 

Le dénominateur D peut, à son tour, se présenter sous la forme d’une matrice :

 

           2   2   2   2   2   2   2  ……………2   2   2

                                 3   3   3   3   3  ……………3   3   3

                                          4   4   4  ……………4   4   4

                                               ………………………….

                                                                              (q-1)(q-1)

 

Qui peut s’écrire :   D = [ 2! x 3! x 4! …….x  (q-1)! ] 2

 

Que nous écrirons : D = [ (q-1)!!] 2

 

Nous voyons apparaître ici pour la première fois la notion d’ « hyperfactorielle », à savoir un produit de factorielles croissantes, comme la factorielle simple (ou de premier niveau) est le produit des entiers croissants. Nous avons ici l’hyperfactorielle de deuxième niveau, dont l’expression générale est :

q!! = 2! x 3! x 4!   ….   x q!

 

On définirait de même les niveaux supérieurs en écrivant :

 

q!!!  =   2!!     x   3!!     x  4!!   ….. x q!!

q!!!!  =  2!!!    x  3!!!    x  4!!! ….. x q!!!

q!!!!! =  2!!!!  x   3!!!!  x  4!!!! …. x  q!!!!

 

Dans la présente étude, nous aurons besoin d’aller jusqu’au troisième niveau pour calculer z(3), et jusqu’au cinquième niveau pour calculer z(5).

Remarques :

Pour tous les niveaux, on a 1! = 1!! = 1!!! = 1!!!! = 1!!!!! = 1

                                                        2! = 2!! = 2!!! = 2!!!! = 2!!!!! = 2

Au-delà, les valeurs numériques deviennent rapidement très élevées. Par exemple : 4!!!!! = 31850496

Cela n’est pas très gênant, d’autant plus que nous travaillerons essentiellement avec les Logarithmes.

Pour en terminer avec n =  4, le calcul aboutit finalement à :

 

C4 = - 2 Ln(q!!) + (2q+1) Ln(q!) – (q²-1/3) Ln(q) + q²/2 – q + g /3 + 1/2     (14)

 

En poursuivant le processus, on calculerait de même C5 (en ajoutant un terme en q!!!), C6 (en surajoutant un terme en q!!!!), et C7 (en surajoutant un terme en q!!!!!) :

 

C5 = - 6 Ln(q!!!)       + (6q+6) Ln(q!!) -    …..        + g /4 + 1/3         (15)

 

C6 = - 24 Ln(q!!!!)    +  (24q+36) Ln(q!!!) -   …..   + g /5 + 1/4        (16)

 

C7 = - 120 Ln(q!!!!!) + (120q+240) Ln(q!!!!) -  …. + g /6 + 1/5        (17)  

 

Notons que toutes ces formules donnant les constantes C s’entendent pour une variable q tendant vers l’infini.

Notons également qu’elles présentent des enchaînements évidents pour les deux premiers termes et les deux derniers. Malheureusement, c’est beaucoup plus confus pour les termes centraux.

La suite de la démarche passe donc par l’évaluation des hyperfactorielles, jusqu’au cinquième niveau, et pour q infini.

 

- Bon courage, cher auteur, car là, vous allez devoir rompre définitivement avec le qualificatif de presque nul, dont vous vous êtes vous-même gratifié dès votre introduction !

En attendant, vous me donnez un certain vertige. Calculer ces constantes C, des nombres somme toute assez petits, par différences de nombres infinis, il faut quand même oser !

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CHAPITRE 7 :  HYPERFACTORIELLES  D’APRES STIRLING

 

 

Je compte relever le défi, cher lecteur, en partant de la formule de Stirling, bien connue pour les factorielles simples, et en essayant de l’étendre aux hyperfactorielles.

Commençons donc par un rappel sur la formule de Stirling.

En travaillant d’entrée de jeu avec les logarithmes, cette formule s’exprime :

            Ln(q!) = q.Ln(q) - q + Ln(q) /2 + Ln(2p) /2 + s(q)

 

Dans les ouvrages que je connais, la fonction s(q) paraît entourée de mystère. Les auteurs se bornent généralement à signaler qu’elle vaut environ       1/12.q, et qu’elle est donc tout juste bonne pour calculer avec une bonne approximation les factorielles quand q est élevé.

Tant qu’on est au premier niveau, on n’a pas besoin de s pour calculer C3, puisqu’on s’intéresse à Ln(q) pour q infini. s(q) est alors nulle.

En introduisant l’expression de Ln(q!) dans la formule (13), on constate que tous les termes en q s’annulent…

 

- Heureusement !

 

- Et qu’il reste en définitive :        C3 = 1 + g /2 - Ln(2p) /2                (18)

 

Pour les niveaux supérieurs, les choses vont être moins simples.

 

Niveau 2 :  L’expression logarithmique de q!! est :

 

Ln(q!!) = Ln(1!) + Ln(2!) + Ln(3!)   …..   + Ln(q!)

 

Comme il faut calculer les factorielles de nombres qui ne sont plus infinis, on ne peut plus éluder le terme complémentaire de la formule de Stirling. Au terme d’un raisonnement compliqué, j’ai trouvé pour ce terme :

 

s(q)  =  b2 /2q  +  b4 /12q3   +  b6 /30q5   +    ….   bn / (n.(n-1).qn-1 )

 

Un peu plus tard, ayant poursuivi la lecture de Guinot, j’ai vu qu’on pouvait établir cette formule très simplement, en utilisant la formule sommatoire d’Euler-MacLaurin (que je vous ai, cher lecteur, conseillé de regarder).

 

- Mais que vous auriez bien dû vous-même regarder plus tôt, ce qui vous aurait évité un travail fastidieux. Dans toute bonne organisation, l’information et la réflexion doivent précéder l’action.

 

- Merci pour le conseil, cher lecteur pas nul du tout pour donner des leçons. Mais je crains que vous ne prêchiez dans le désert. Comme je n’aime pas beaucoup potasser, j’ai toujours tendance à me lancer sans avoir pris le temps de réunir tous les éléments nécessaires. Et comme on ne se refait pas, surtout à mon âge…

Mais revenons plutôt à notre s. L’expression donnée ci-dessus se trouve probablement dans certains ouvrages, mais pas dans ceux (peu nombreux) que je connais. A la réflexion, je ne vois qu’une cause possible : la série s n’est pas convergente, ce qui, manifestement, rebute les mathématiciens non nuls.

Quant à nous, il importe que nous ne nous laissions pas rebuter, car de telles séries, nous allons en rencontrer beaucoup, je vous l’ai déjà dit.

Et quant à vous, cher lecteur presque nul, si vous n’avez pas encore lu l’annexe 1, il est grand temps de vous y mettre, au lieu de me critiquer. Ah mais !

 

Reprenons donc le calcul de Ln(q!!), terme complémentaire compris, en le mettant sous forme de tableau :

 

Ln(q!!) =  Ln(1) - 1 + Ln(1)/2 + Ln(2p)/2 + b2/2        + b4/12        + b6/30  ….

               + 2Ln(2) - 2 + Ln(2)/2 + Ln(2p)/2 + b2/(2.2) + b4/(12.2³) + b6/(30.25)...

               + 3Ln(3) - 3 + Ln(3)/2 + Ln(2p)/2 + b2/(2.3) + b4/(12.3³) + b6/(30.35)…

………………………………………………………………………..

               + qLn(q) - q + Ln(q)/2 + Ln(2p)/2 + b2/(2.q) + b4/(12.q³) + b6/(30.q5 )...

 

En faisant les sommations colonne par colonne, on arrive à :

 

Ln(q!!) = qLn(q!) /2  +  3Ln(q!) /4  -  q²/4  +  q(Ln(2p) -1) /4  +  B2         (19)

 

      Avec   B2 = (1/2) [ b2 . h1(q) /2  +  b4 . h3(q) /12  +  b6 . h5(q) /30  ….   ]

 

Cette formule est valable pour toutes les valeurs de q. Si on fait tendre q vers l’infini, elle devient :

 

Ln(q!!) = qLn(q!) /2  +  3Ln(q!) /4  -  q²/4  +  q(Ln(2p) - 1) /4

                                                                     +  Ln(q) /24  +  g /24  +  r1/2    (20)

 

Avec  r1 = b4 . z (3) /12 + b6 . z (5) /30 ……

 

r1 est une constante qui vaut approximativement - 0,002809. Comme la fonction s(q), elle se présente comme une série alternée non convergente. Il faut s’y habituer.

 

Reprenons maintenant la formule (14), en l’écrivant un peu différemment :

 

Ln(q!!) = (q + 0.5) Ln(q!) - (q²/2 - 1/6) Ln(q) + q²/4 - q/2 + g /6 + 1/4 - C4/2

                                                                                                                           (21)

Rapprochons maintenant les formules (20) et (21), en éliminant tous les termes qui sont infinis tout en ne comportant aucune partie constante. Sauf erreur, il est en effet impératif que ces termes s’annulent. Si vous avez un doute, cher lecteur presque nul, je vous engage à le vérifier, ce qui constituera un excellent exercice.

 

- Merci bien, cher auteur presque aussi nul. Vous savez que je vous fais totalement confiance pour les questions d’intendance.

 

- Reste pour la formule (20) :  b2 /4  +  (3/8) Ln(2p)  +  g /24  +  r1/2

 

  Et pour la formule (21) :   b2 /2  +  Ln(2p) /4  +  g /6  + 1/4  -  C4 /2

 

Le rapprochement des deux expressions donne :

 

C4 = 7/12  -  Ln(2p) /4  +  g /4  -  r1                                     (22)   

 

            Niveau 3 :

Il faut reconduire le même processus, en partant cette fois de la formule 19, ce qui ne pose pas de problème particulier pour les quatre premiers termes, mais appelle un commentaire pour la partie « Bernoulli », c’est-à-dire pour passer de B2 à B3. En faisant les sommations sur B2, nous allons en effet voir apparaître :

 

(b2 /2)   [ h1(1) + h1(2) + h1(3)   …..   + h1(q) ]

(b4 /12) [ h3(1) + h3(2) + h3(3)   …..   + h3(q) ]

(b6 /30) [ h5(1) + h5(2) + h5(3)   …..   + h5(q) ]

……………etc………………………

 

On verra à l’annexe 3 : « Diverses sommations partant des fonctions h » l’établissement de la formule générale donnant ces sommes, soit :

 

hn(1) + hn(2) + hn(3)    ……   +hn(q) = [ (q+1) hn(q) ]  -  hn-1(q)

 

Avec un cas particulier pour n = 1 : sachant que h0 (q) = q, la somme devient :  [ (q+1) h1(q) ]  -  q

 

Le terme B3 issu de B2 sera alors :

 

(q/3 + 1/3) [ (b2 . h1(q) /2)   +  (b4 . h3(q) /12)  +  (b6 . h5(q) /30)  ……]

       - (1/3) [ (b4 . h2(q) /12) +  (b6 . h4(q) /30) …….]

 

Si q tend vers l’infini, B3 devient :

 

              (q/3 + 1/3) [ Ln(q) /12  +  g /12  +  r1 ]  -  r2 /3

 

On voit apparaître, en plus de r1, le terme :

 

            r2 = b4  . z (2) /12  +  b6 . z (4) /30  +  b8 . z (6) /56 ……..

 

            Constante valant environ  - 0,004007

 

Avec le même processus que pour le niveau 2, on trouvera comme termes finis :

   1/18  +  5 Ln(2p) /16  +  g /16  +  3r1 /4  -  r2 /3

 

A rapprocher de l’expression issue de la formule (15) qui serait :

 

   17/144  +  7 Ln(2p) /24  +  g /12  +  r1 /2  -  C5/6

 

Le résultat étant :

 

C5  =  3/8  -  Ln(2p) /8  +  g /8  -  (3/2) r1  +  2 r2                           (23)

 

Nous survolerons les niveaux suivants, en signalant que le niveau 4 fera apparaître :

Des sommes de type Σq.h1(q), Σq.h3(q) …etc, dont on trouvera également les expressions en annexe 3.

A côté des constantes r1 et r2, une nouvelle constante :

 

r3  =  b6 . z (3) /30  +  b8 . z (5) /56  +  b10 . z (7) /90  …….

 

Ce qui conduira finalement à :

 

C6  =  193/720  -  Ln(2p) /16  +  g /16  -  (7/4) r1  +  4 r2  -  3 r3                (24)

 

Enfin, le niveau 5 fera apparaître des sommes de type Σq².h1(q), Σq².h3(q) …etc, ainsi qu’une nouvelle constante :

 

r4  =  b6 . z (2) /30  +  b8 . z (4) /56  +  b10 . z (6) /90 …..

 

Avec, finalement :

 

C7 = 301/1440 - Ln(2p) /32 + g /32 - (15/8) r1 + 6 r2 - (15/2) r3 + 4 r4     (25)                       

 

Nous n’avons certainement abordé ici qu’une partie du vaste domaine des hyprefactorielles, qui mériteraient certainement qu’on leur consacre une étude plus approfondie. Ce travail sera esquissé dans l’annexe 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CHAPITRE 8 :  CALCUL DE  z (3) ET  z (5)

 

 

Il nous faut maintenant revenir au chapitre 5, et notamment aux formules (9) et (11) qui conduiront respectivement aux calculs de z (3) et de z (5). Nous approchons du but.

 

- Et moi, je trouve que nous ne cessons de nous enfoncer dans une complexité qui m’angoisse. Et je doute fort que tout ce fatras de formules nous conduise à des expressions intéressantes.

 

- Patience, cher lecteur, car je vous vois devenir un peu agressif, mais je pense qu’il faut mettre cela sur le compte de la lassitude. Prenez donc un peu de repos, la suite peut attendre. Ou peut-être en avez-vous assez que je vous traite de « presque nul » ? Préféreriez-vous « epsilonnesque » ?

 

- Certes pas. C’est vraiment trop .moche. Soit, restons-en donc à « presque nul », puisque la nullité, comme vous me l’avez expliqué, peut être relative. Et maintenant, présentez-moi plutôt des formules convaincantes ; ce sera la meilleure façon de me redonner le moral.

 

A vos ordres, cher lecteur. Allons-y :

 

 Calcul de z (3) :

 

Rappelons que la formule (9) nous donne :

 

z’ (-2) = - 1/36 + C3 /6 - C4 /2 + C5 /3

 

En remplaçant C3, C4, C5 par leurs expressions définies au chapitre 6, on arrive à :

 

z’ (-2) = - 1/36 + (2/3) r2

 

Suite à un petit miracle, les expressions en g, Ln (2p), et r1 se sont annulées, et il nous reste finalement pour z (3) :

 

z (3) = (2p)2 [1/36 - (2/3) r2]                                       (26)

 

Eh bien, cher lecteur, cette expression a-t-elle l’heur de vous plaire ?

 

- J’avoue être agréablement surpris. Je crois que je vais retirer le mot « fatras ». Il reste toutefois que la constante r2 n’est pas vraiment analytique. A moins que vous n’ayez encore un tour dans votre sac.

 

- Hélas, pour l’instant, r2 n’est encore qu’une modeste série alternée divergente, dont je n’ai pas trouvé jusqu’ici l’expression analytique (à supposer qu’elle existe), mais qui a l’avantage de pouvoir être évaluée avec précision.

 

- J’ai vu cela dans votre annexe 1 (que j’ai lue attentivement, malgré vos insinuations).

 

 - On peut aussi, un peu sournoisement, calculer r2 à partir de z (3), dont la valeur est gracieusement fournie par Guinot avec pas moins de … 20 décimales. La formule (26) peut s’écrire pour cela :

 

r2 = - 3/2 [ z(3) /(2p)2  -  1/36]                                                      (27)

 

Ainsi, par un échange de bons procédés, r2 nous aidera (peut-être) à appréhender z (3) analytiquement, mais z (3), de son côté, nous permet de calculer r2 avec une très grande précision.

 

- J’appelle cela un tour de passe-passe, et je constate que nous sommes en plein dans le paradoxe un peu délirant du mathématicien : déployer des trésors de raisonnement pour calculer un nombre qu’on connaît déjà avec 20 décimales ! Toute personne sensée doit nous juger fous à lier.

 

- C’est parce que la plupart des personnes, même sensées, n’appréhendent pas vraiment la différence entre le calcul théorique et le calcul numérique.

Tenez, cela me rappelle ma carrière professionnelle d’ingénieur, pendant laquelle j’ai fait beaucoup de calcul numérique sans trop me soucier de savoir si j’employais des méthodes analytiquement correctes. Ce qui comptait, c’était d’obtenir le bon chiffre. Maintenant que je fais des mathématiques pour le plaisir, c’est l’inverse.

Mais je m’aperçois que nous avons encore tendance à dévier vers la philosophie (si j’ose employer ce grand mot à propos de nos modestes digressions). J’espère ne pas vous importuner.

 

- Pas du tout, cher auteur, pas du tout, car, je vous l’ai déjà dit, je me pique volontiers de philosophie.

 

- Et vous vous comparez à Thalès et à Pascal… Bon, passons.

Donc, je note que ma formule (26) vous satisfait.

 

- Pour l’instant. Je la trouve même tellement simple que je peine à admettre qu’il faille des raisonnements aussi complexes pour l’établir. Je soupçonne l’existence d’un processus plus simple.

 

- Je ne serais pas étonné que vous soupçonniez juste, tant il est vrai que je trouve presque toujours les solutions compliquées avant les solutions simples.

 

- Enfin, seul compte le résultat. Un résultat pas complètement satisfaisant, d’ailleurs, car nous sommes encore loin d’une expression analytique. Mais je compte sur vous pour la perfectionner un peu, votre sympathique formule (26).

 

- Je vais m’y efforcer. Mais pas avant d’avoir eu une pensée pour mon inspirateur, Marc Guinot qui, lui, est certainement moins satisfait que nous, car il aurait jugé « agréable » que z (3) découlât de p³ comme z (2) découle de p² et z (4) de p4 . Mais il ajoute bien vite : « à ma connaissance, nul n’en sait rien » (p. 265)

 

- Encore une phrase qui n’a pas dû manquer de vous exciter l’esprit…

 

- Bien sûr. Mais puisque nous avons décidé de perfectionner notre formule, je vous propose de la travailler en remplaçant les z par les nombre de Bernoulli correspondants. Ce qu’on peut faire sans problème en utilisant la formule (d’Euler bien entendu) :

 

            z (n) = +/- (1/2) [(bn x (2p) ⁿ] / n!

 

Cette formule n’est valable que pour les n pairs, mais vous avez bien noté que r2 ne comporte que des n pairs, ce qui est « agréable », comme dirait Guinot.

 

- Ce qui n’eut pas été le cas avec la constante r1, qui a décidément été bien inspirée de sortir de notre paysage. Espérons qu’il en sera de même avec r3.

 

            - Je vous félicite, cher lecteur. Non seulement vous suivez parfaitement, mais vous anticipez. Je me demande si je ne vais pas vous laisser terminer le travail tout seul.

 

- Je ne voudrais pour rien au monde vous enlever le pain de la bouche. Poursuivez donc, je vous en prie.

 

- Réécrivons donc r2 en remplaçant les z  par leurs « équivalents Bernoulli ». On obtient :

 

r2 = (1/2) [ (b2 . b4 . (2p)2 /4!) - (b4 . b6 . (2p)4 /6!) + (b6 . b8 . (2p)6 /8!)  - ….]

 

Ce qui donne pour z (3) :

 

z (3) = (1/3) [ (b2 . (2p)2 /2!) - (b2 . b4 . (2p)4 /4!) + (b4 . b6 . (2p)6 /6!) ....]  (28)

 

Voilà un développement, cher lecteur, qui ne va pas manquer de vous paraître « agréable ».

 

- Certes, puisqu’on n’y rencontre plus que des nombres de Bernoulli. Toutefois, cher auteur, si tel était l’objectif, n’aurait-on pu l’atteindre plus simplement en partant de l’expression de base de z (3) et en lui appliquant la fameuse formule sommatoire d’Euler-MacLaurin, que vous m’avez-vous-même conseillé de consulter ?

 

- Encore mes compliments, cher lecteur tout compte fait pas nul du tout. En effet, la fonction 1/xⁿ étant intégrable et indéfiniment dérivable, on peut utiliser la formule sommatoire pour exprimer tous les z, pairs ou impairs. Anticipons donc un peu sur le Chapitre 10. Nous verrons qu’on arrive très vite, toujours pour z (3) et z (5), à :

 

z (3) = 1/2 + 1/2 + (1/2) [   3 b2  +  5 b4  +  7 b6   ….    ]

 

z (5) = 1/4 + 1/2 + (1/4) [ 10 b2 + 35 b4 + 84 b6  ….     ]

 

Si, ayant bien lu l’annexe 2 (ce dont je ne doute plus), vous vous souvenez que, pour nous,  b0 = 1  et  b1 = 1/2, vous voyez qu’on peut traduire la première expression par : la somme de l’ensemble des nombres de Bernoulli est égale à z (2), ce qui est quand même bien satisfaisant pour l’esprit, et donne encore une valeur fort honnête pour une série complètement divergente. Comme je vous sais curieux, vous trouverez la démonstration de ces formules dans les pages suivantes, plus précisément au chapitre 10.

Mais je vous vois bien venir : vous n’allez pas manquer de me faire observer que ces formules sont agréables dans leur simplicité, et qu’on aurait peut-être pu s’en satisfaire.

 

- Je ne vous le fais pas dire.

 

- Certes, mais la mienne présente un gros avantage : elle est taylorienne, ce qui n’est pas rien, et n’a quand même pas dû vous échapper. Or, comme toute expression analytique peut s’exprimer par un développement taylorien (à condition d’être dérivable), tout développement taylorien peut potentiellement cacher une expression analytique.

Il reste donc à trouver une fonction F3 (x) dont les coefficients tayloriens soient : b2   - b2.b4    b4.b6    - b6.b8  ….. etc.  On aura alors :

 z (3) = F3 (2p).

Le concours est ouvert. Si le cœur vous en dit, cher lecteur définitivement pas nul, je vous engage à participer. Si vous réussissez, nous entrerons dans l’histoire bras dessus bras dessous, comme l’ont déjà fait Stokes et Ampère, ou Euler et MacLaurin, pour ne citer qu’eux. (Je me suis retenu à temps pour ne pas ajouter Wallis et Futuna…)

 

 - Malheureusement, je ne suis pas certain d’être taillé pour la mission que vous m’offrez. Il me semble que l’intervention d’un vrai mathématicien (sans vouloir vous désobliger…), d’un mathématicien pas nul du tout, pourrait s’avérer bien utile au stade où nous en sommes. Et tant pis si vous entrez dans l’histoire avec quelqu’un d’autre. Je ne suis pas jaloux.

 

- Hélas, je doute que les vrais mathématiciens lisent jamais cet ouvrage, et que nous n’en soyons réduits à nos modestes moyens.

 

- Le seul nom de Zêta devrait pourtant les faire vibrer un peu, il me semble ?

 

- Certes, la belle Zêta a sûrement plus d’un amant, comme la Sidonie de Charles Cros. Et n’étant pas jaloux non plus, je partagerais volontiers. Mais cessons de nous torturer l’esprit. Nous verrons bien ce que l’avenir nous réserve.

Et maintenant, si nous poursuivions ? Car nous n’en avons pas tout à fait terminé.

 

Calcul de z (5) :

 

Ou : le miracle va-t-il se reproduire ?

La formule (11) nous donne :

 

z’ (- 4) = 13/1800  -  C3 /30  +  C5 /3  -  C6 /2  +  C7 /5

 

Ce qui, par remplacement des constantes C, conduit à :

 

z’ (- 4) = 1/150  -  (2/15) r2  +  (4/5) r4

 

Le miracle s’est reproduit ! Il reste donc pour z (5) :

 

z (5) = (2p)4  [ 1/1800  -  r2 /90  +  r4 /15 ]                                   (29)

 

Après r2, il nous reste donc maintenant à examiner r4 et à essayer de rendre cette série taylorienne, comme nous l’avons fait pour r2. On obtient très rapidement :

 

r4 = [1/ 2.(2p)4 ] [ (12 . b2 . b6 . (2p)6 /6!)  -  (30 . b4 . b8 . (2p)8 /8!)  +  ….]

 

On en arrive donc à une écriture possible de  z (5) :

 

z(5)= (2p)4 /2160                                                                                              (30)

- [(2p/180].[(b2 . b4 . (2p)4 /4!)  -  (b4 . b6 . (2p)6 /6!)  +  (b6 . b8 . (2p)8 /8!)  ... ]

- (1/15) [(b4 . (2p)4 /4!)  -  (6 . b2 . b6 . (2p)6 /6!)  +  (15 . b4 . b8 . (2p)8 /8!)  ...]

 

Expression certes moins agréable que celle de z (3), mais qui continue à faire apparaître des développements tayloriens, ce qui peut s’avérer important.

Notons que, si on reprend la formule (29), on peut remplacer r2 par son expression donnée par la formule (27), ce qui donne :

 

           z (5) = [(2p)4 /15] [ 1/720  +  z (3) /16.p2  +  r4]                                  (31)

 

         - Tout cela est fort bien, cher auteur, mais je me demande si les formules que nous obtenons avec r2 et r4 sont vraiment plus intéressantes que celles qu’on pouvait faire apparaître directement avec les constantes C, que vous vous êtes donné un mal de chien pour calculer. Il me semble qu’en partant de la formule générale (6), assortie des formules (9) et (11), on pouvait arriver directement à z (3) et à z (5) en court-circuitant vos interminables chapitres sur les hyperfactorielles.

 

            - Remarque pertinente, cher lecteur. On aurait ainsi trouvé :

 

           z (3) = (2p)2. [ 1/36 - C3/6 + C4/2 - C5/3]                                         (32)

 

z (5) = (2p)4. [13/21600 - C3/360 + C5/36 - C6/24 + C7/60]            (33)  

 

            Vous noterez que, pour vous être agréable, j’ai fait à vos formules l’honneur de les numéroter.

 

            - Et vous avez bien fait, et pas seulement pour m’être agréable. Ces formules présentent en effet de solides avantages :

            - Les constantes C étant fournies par des séries convergentes, les z obtenues le sont aussi, ce qui n’est pas le cas avec les constantes r. Si on veut faire un peu de calcul numérique, « mes » formules ci-dessus devraient donc être meilleures.

            - L’extension aux z de rangs supérieurs paraît relativement aisée, ce qui n’est pas le cas avec vos hyperfactorielles. (J’ai même noté que vous n’avez pas osé présenter le calcul de C5 et de C7, et que vous vous êtes contenté de « parachuter » leurs expressions.)

 

            - Décidément, le dialogue avec vous devient de plus en plus constructif. Je suis en gros d’accord avec vos remarques, avec toutefois un bémol au sujet du calcul numérique. Les constantes r se prêtent en effet très bien à ce type de calcul, en raison de leur parenté avec la formule de Stirling. Auriez-vous oublié la démonstration pour r2 dans l’annexe 1, que vous m’avez pourtant citée quelques pages plus haut ?

            Par ailleurs, je vous rappelle que le but ultime reste d’aboutir à des expressions analytiques, et rien ne nous permet aujourd’hui de dire, entre les constantes C et les constantes r, quelle famille s’y prêtera le mieux. Je vois même un petit avantage potentiel aux constantes r, en raison de leur forme taylorienne.

Quand à « mes » hyperfactorielles, j’avoue une tendresse particulière pour ces fonctions galopantes, et je ne regrette donc pas de m’en être servi, ne serait-ce que pour les connaître un peu mieux. Je compte bien, d’ailleurs, leur consacrer une annexe 4 particulière, qui sera peut-être peu utile pour le calcul des z impairs, mais qui devrait présenter un intérêt par elle-même.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CHAPITRE 9 :  ET   ENSUITE ?

 

 

A partir des développements précédents, on peut risquer une conjecture visant à une généralisation à l’ensemble des Zêta impairs :

 

z (n) = (2p)n-1  [ A  +  B . r2  +  C . r4  +  D . r6  …..  +  Z . r(n-1) ]              (34)

 

Ou encore :

 

z (n) = (2p)n-1  [ A1  +  B1 . z(3) /(2p)2  +  C1 . z(5) /(2p)4  ….

 

…..+    Y1 . z(n-2)/(2p)n-3  +  Z1 . r(n-1) ]                                                       (35)                         

 

Un axe de recherche pourrait être de prendre comme hypothèse que les coefficients  A, B, C….Z  et  A1, B1, C1….Z1  sont des rationnels, et d’effectuer une investigation numérique qui permettrait de trouver « expérimentalement » l’expression de z (7), voire celle de z (9).

Vous qui aimez le calcul numérique, cher lecteur, si vous disposez d’un ordinateur de bonne capacité, voilà une tâche à laquelle vous pourriez vous atteler !

Dans un deuxième temps, il faudrait alors essayer de faire apparaître un cheminement logique qui permettrait d’introduire de proche en proche les z impairs successifs.

 

- Et cela, c’est vous qui le ferez, bien sûr. Je vois bien où vous voulez en venir, cher auteur un peu hypocrite : à moi le travail bestial, à vous le travail noble.

 

- Je vous rappelle qu’il existe un travail encore plus noble, auquel vous avez tout loisir de vous attaquer : trouver les fonctions analytiques correspondant aux développements tayloriens que nous avons mis en évidence. Voilà ce que j’appellerais sortir par la grande porte.

Il existe peut-être même une autre piste presque aussi noble : trouver une constante r0 à partir de laquelle on pourrait calculer l’ensemble des constantes r paires. L’idéal serait, bien sûr, que r0 ait une expression analytique Mais dans la négative, nous pourrions alors la proposer pour le titre de constante fondamentale de la théorie des nombres, juste après les grandes stars que sont p, e, et g.

Enfin, une dernière piste pourrait partir de la série : 

 

(b2 /2!) x (2p)2  +  (b4 /4!) x (2p)4    +  (b6 /6!) x (2p)6     …….

 

Qui n’est autre que le développement de [p x coth(p)] - 1 , ainsi que vous le vérifierez facilement, et de voir ce que devient cette série en multipliant chaque terme par le coefficient taylorien du précédent et en introduisant une inversion de signes

Mais il ne s’agit là que d’idées en l’air, dont on ne peut pas dire sur quoi elles déboucheront, si toutefois elles débouchent sur quelque chose…

Et si tout cela échoue, il nous restera la consolation d’avoir peut-être innové un peu, par exemple avec les séries alternées, la fonction θ, les hyperfactorielles, ou autres élucubrations.

 

Voilà encore pas mal de grain à moudre, mais il ne sera sans doute pas moulu par moi. Ces derniers temps, j’ai un peu négligé mes petits-enfants au profit de Zêta ; il est temps que je me ressaisisse.

J’espère donc que quelqu’un voudra bien s’en charger. Et pourquoi pas vous-même, mon cher lecteur ? La lecture de ma prose vous y incitera peut-être, comme la lecture de Guinot m’a incité à faire tout ce travail. Si vous réussissez, je m’engage formellement à ne plus jamais vous attribuer le qualificatif de « presque nul ».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                     DEUXIEME  PARTIE :

 

 

                   APPROCHE  «  BERNOULLI »

 

 

 

 

 

 

CHAPITRE 10 : CALCUL  DE  z (p)  PAR  EULER - MAC LAURIN

 

                                                                                 

            Partons de la définition de base :     z (p) = ∑ 1/np

                                                                                 n=1

Partie « intégrale » de la formule de sommation d’Euler-MacLaurin :

           

            ∫ (1/np). ∂p = 1/ (p-1)

         1

Valeurs extrêmes : Elles se limitent à la première, ce qui donne : 1/2

 

Partie « Bernoulli » :

            Les dérivées impaires successives de f(n) = 1/np = n-p sont :

 

f’ = - p.n- (p+1)      soit pour n = 1 :   f’(1) = - p

f(3) = - p.(p+1).(p+2).n- (p+3)    soit pour n = 1 :   f(3) (1) = - p.(p+1).(p+2)

Et pour la suite :                  f(5) (1) = - p.(p+1).(p+2).(p+3).(p+4)

                                                           ……………………………………..

                                                        f(q) (1) = - p.(p+1).(p+2).(p+3)………(p+q-1)

 

            Notons que les dérivées pour n = ∞ sont nulles, et aussi que les dérivées pour n = 1 sont à soustraire, ce qui remplace les signes - par des signes +.

Ce qui conduit finalement à (en transposant q → q-1) :

 

z (p) = 1/ (p-1) + 1/2 + p.b2 /2! + p.(p+1).(p+2).b4 /4! …. + p…..(p+q-2).bq /q!                                         soit :                                                                                                                    z (p) = (p+1)/(2p-2) + (1/(p-1).[C2p.b2 + C4p+2.b4 + C6p+4.b6 + …Cqp+q-2 .bq ...]

                                                                                                                           (36)

On peut vérifier que z (p) tend bien vers 1 quand p → ∞

            Cette formule peut être exploitée directement pour calculer une valeur quelconque de z en fonction des nombres de Bernoulli. On trouvera par exemple :

z(3) =    1 + (1/2).[   3b2 +  5b4   + 7b6 …..]                                        (36.3)

 

            z(5) = 3/4 + (1/4).[10b2 + 35b4 + 84b6 ….]                                         (36.5)

            ……………………………………… 

            Comme elle présente quelques similitudes avec la formule (2), avec la suite des b à la place de celle des z, on peut calculer les dérivées successives (vers le bas) en remplaçant p par p+e :

           

z (e) = - 1/(1- e) + 1/2 + e.b2 /2! + e.(1+e).(2+e).b4 /4! ...+ e.(1+e)..(q-2+e).bq /q!

 

Le premier terme pouvant s’écrire -1- e , et le terme courant e. bq /q.(q-1)  (en négligeant les puissances de e supérieures à 1), on arrive à :

                                                

z (e) = - 1/2 - e.[1 - ∑ bq /q.(q-1)]

                                     2

Le terme en ∑ est connu (Annexe 2. Formule de Stirling). Il vaut :           1 - Ln (2p) /2 , ce qui conduit à la formule déjà établie ( formule 7’) :

 

                        z (e) = - 1/2 - e. [Ln (2p) /2]     

                           

On peut écrire : ∑ bq /q.(q-1) = K1 - K0

                       2                                      

avec : K1 = ∑ bq /(q-1)   et  K0 = ∑ bq /q

        2                                                2  

On a calculé à l’annexe 2 :

                                   K0 = g - 1/2       et   K1 = g + 1/2 - Ln (2p) /2

Qu'on peut écrire :

                        K0 = C2 - 1/2        0,077216                                                   (37)

 

      et   K1 = C2 /2 + C3 - 1/2        0,158277                                    (37’)                                          

 

z (-1+e) = - 1/(2- e) + 1/2 + (-1+e).b2 /2! + (-1+e).e.(1+e).b4 /4! - e.b6.3! / 6! - ….

 

Le premier terme peut s’écrire -1/2 - e/4 et le terme courant - e. bq /q.(q-1).(q-2), ce qui conduit à :                                            

                        z (-1+e) = - 1/12 + e. [- 1/4 + b2 /2! - ∑ bq /q.(q-1).(q-2)]

                                                                         4

Le terme en ∑ que nous désignerons l1, peut se décomposer comme suit :

 

(1/2).∑ bq /q - ∑ bq /(q-1) + (1/2).∑ bq /(q-2)

                     

avecbq /q = K0 - b2 /2 = g - 7/12    

                     4   

                             bq /(q-1) = K1 - b2 = g + 1/3 – Ln (2p) /2

                          4   

                  bq /(q-2) = K2      ( pas d’expression analytique connue)

                                         4

Ce qui donne, tous calculs faits :

z (-1+e) = - 1/12 - e. [1/6 + l1]  ,  soit :

 

    z (-1+e) = - 1/12 - e. [7/24 + K0 /2 - K1 + K2 /2]             (38)

 

En identifiant  avec la formule (8), on peut établir :

 

            K2 = C2 /6 + C3 + C4 - 3/4   ≈ - 0,013151                            (39)

 

z (-2+e) = - 1/(3- e) + 1/2 + (-2+e).b2 /2! + (-2+e).(-1+e).(e).b4 /4! + …..

 

            Après un calcul similaire aux cas précédents, on arrive à :

 

            z (-2+e) = - e. [1/36 + (2!). l2]  ,  soit :

 

z (-2+e) = - e. [ - 1/6 - K0 /3 + K1 - K2 + K3 /3]                               (40)

 

                                                                                                                                 

       avec :  K3 = ∑ bq /(q-3)

                          4

                                    Et apparition du terme l2 = ∑ bq /q.(q-1).(q-2).(q-3)

                                                                                  4

En identifiant avec la formule (9), on peut établir :

 

                        K3 = C3 /2 + 3.C4 /2 + C5 - 5/6    ≈ - 0,028416                  (41)

 

z (-3+e) = - 1/(4- e) + 1/2 + (-3+e).b2 /2! + (-3+e).(-2+e).(-1+e).b4 /4!

+ (-3+e).(-2+e).(-1+e).(e).(1+e).b6 /6! + …..

 

On arrive à :    z (-3+e) = 1/120 + e .[1/180 - (3!). l3]  ,  soit :

 

z (-3+e) = 1/120 + e. [- 59/480 - K0 /4 + K1 - 3.K2 /2 + K3 - K4 /4]         (42)

                                                                                               

                                                                             avec : K4 = ∑ bq /(q-4)

                                                                                              6

            Et apparition de l3 = ∑ bq /q.(q-1).(q-2).(q-3).(q-4)

                                               6

En identifiant avec la formule (10), on peut établir :

 

            K4 = - C2 /30 + C4 + 2.C5 + C6 - 61/72     0,007953                     (43)

 

z (-4+e) = - 1/(5-e) + 1/2 + (-4+e).b2 /2! + (-4+e).(-3+e).(-2+e).b4 /4!

 

+ (-4+ e).(-3+ e).(-2+e).(-1+e).(e).b6 /6! + …..

 

On arrive à :    z (-4+e) = e. [13/1800 + (4!). l4]

 

z (-4+e) = e. [- 103/900 - K0 /5 + K1 - 2.K2 + 2.K3 - K4 + K5 /5]            (44)

                                                                                               

                                                                            avec : K5 = ∑ bq /(q-5)

                                                                                            6

                Et apparition de l4 = ∑ bq /q.(q-1).(q-2).(q-3).(q-4).(q-5)

                                               6

En identifiant avec la formule (11), on peut établir :

 

            K5 = - C3 /6 + 5.C5 /3 + 5.C6 /2 + C7 - 13/15   0,0018169                   (45)

                       

            En poursuivant le même type de calcul, on ferait apparaître les valeurs successives des z négatifs avec leurs dérivées, notamment pour les valeurs paires, ces dernières permettant de faire apparaître des expressions des z positifs impairs.

            Une méthode, pour le moment hypothétique, qui permettrait de donner des expressions analytiques des constantes K au-delà de K1, conduirait du même coup à la connaissance des z impairs. En attendant, les expressions établies ci-dessus des constantes K en fonction des constantes C montrent que certaines séries divergentes peuvent se ramener à des séries convergentes, et peuvent donc être évaluées avec une grande précision.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CHAPITRE  11 : CALCUL  DE  z (p)

                                                                     

            Par l’intégrale :  z(k+1) = (1/k!) . ∫ [uk / (eu - 1)].∂u                         (46)

                                                                    0

 

Cette formule conduit à utiliser des séries alternées particulièrement non orthodoxes, car non seulement elles sont divergentes, mais tous leurs termes sont infinis. Ce qui n’empêche pas d’obtenir des résultats manifestement exacts, car on obtient bien les valeurs numériques recherchées.

Nous nous intéresserons ici aux valeurs impaires de z, ce qui implique que k soit pair. En ce qui concerne les valeurs paires, on peut se contenter de vérifier qu’on retrouve les valeurs analytiques connues (p2/6, p4/90…etc).

 

La formule générique des z impairs se présente alors comme suit (voir démonstration plus loin) :

                                                                k/2

z(k+1) = [2.(2p)k/k!].[+/- 1/(k+1)2  -/+  S  b2q . P2q-1 / (2q)!  -/+  k! lk ]    (47)

                                                               q = 1

Les nombres b sont les nombres de Bernoulli.

Les signes de l’expression principale sont : +, -, -  pour k = 2, 6, 10 ….

                                                                et : -, +, +  pour k = 4, 8 ….

Les polynômes P sont les premières dérivées impaires de la fonction pk.Ln(p) pour p = 1. On démontre qu’ils s’expriment en fonction de k par l’expression :

 

P2q-1 = k (k-1) (k-2) …. (k-2q+2) . [1/k + 1/(k-1) + 1/(k-2) + ……(1/(k-2q+2)]

 

Quant au terme lk, déjà rencontré au chapitre précédent, il s’exprime par :      

           

S  [b2q . (2q-k-2)! / (2q)!

               k/2+1

Ces expressions, apparemment compliquées, deviennent très simples quand on les applique aux premières valeurs impaires de z. On retrouve bien les valeurs connues :

 

z(3) = (2p)2.( 1/36 - 2.(b4/24 + b6/360 + b8/1680 +….) ≈ 1,202                     (47.3)

 

z(5) = (2p)4.( 13/21600 + 2.(b6/720 + b8/20160 + b10/151200 +…) ≈ 1,037  (47.5)

 

z(7) = (2p)6.( 47/3175200 - 2.(b8/40320 + b10/1814400 + b12/19958400 + ….)

                                                                                                         ≈ 1,0083   (47.7)

……………etc……………

 

On ne peut évidemment pas considérer le problème des valeurs impaires de z comme résolu, les expressions ci-dessus n’étant pas analytiques. Elles le deviendraient si on trouvait une forme analytique de la fonction lk, ce qui est loin d’être évident.

Tout ce qu’on peut donner pour l’instant, c’est la valeur de l0, soit :

 

l0 = b2 /2 + b4 /12 + ….b2q /2q.(2q-1) = 1 - (Ln(2p) /2) ≈ 0,081061

                                                                                          

 (expression tirée de la formule de Stirling des factorielles)

Par ailleurs, on peut mettre en évidence le fait que, si k tend vers l’infini, lk tend vers 0 par valeurs alternées en admettant une asymptote d’équation :

 

2.[1 - 2!/(2p)2 + 4!/(2p)4 …. +/- p!/(2p)p ] / [(2p)k+2] ≈ 1,918 / [(2p)k+2]

 

(la série alternée entre [ ] n’est pas convergente, mais admet la valeur approximative 0,959.)

Entre ces deux extrêmes, les premières valeurs de l admettent les valeurs approximatives suivantes, qui ont été retenues dans les calculs de z(3), z(5) et z(7) ci-dessus :

 

l2 ≈ - 0,001335             l4 ≈ 0,3172 10-4             l6 ≈ - 0,794 10-6

 

Les séries correspondantes sont de type pseudo convergent, avec des cols suffisamment étroits pour que les approximations ne soient pas trop mauvaises.

On peut remarquer, et même démontrer, une relation simple entre l2 et la constante r2 établie au chapitre 7, à savoir : l2 = r2 /3 . Il ne semble cependant pas qu’on puisse établir une loi générale de correspondance entre les deux familles de constantes.

 

            On retrouve avec cette approche les résultats obtenus au chapitre 10, avec l’avantage de disposer d’une formule générique qui permet plus facilement d’aborder les valeurs impaires au-delà de z (5).

 

            Démonstration de la formule  (47) :

 

            La formule (46) peut s’écrire :

                                        

z(k+1) = (1/k!) .  uk-1 . [u / ( eu-1)] . ∂u

                                        0

            En introduisant le développement taylorien de u / (eu-1), l’expression devient :                           

              z(k+1) = (1/k!) . ∫ uk-1. (1 - u/2 + b2.u2/2! + b4.u4/4! .. +… bq.uq/q! ...).∂u                                            0

L’expression à intégrer se ramène à : uk-1 - uk/2 + (b2/2!).uk+1… +…(bq/q!).uk+q-1...

Ce qui conduit, après intégration, à :

 

z(k+1) = (1/k!) . [ uk/k - uk+1/2(k+1) + (b2/2!).uk+2/(k+2) ...+... (bq/q!).uk+q/(k+q)]

 

avec : u → ∞  (Pour la limite inférieure, avec u = 0, l’expression est nulle.)

 

            Factorisons uk, et remplaçons les nombres de Bernoulli par leurs « équivalents z ». On obtient :

 

z(k+1) = (uk/k!) . [ (1/k) – u / 2(k+1) + 2.z(2).u2 / [(2p)2.(k+2)]

 - 2.z(4).u4 / [(2p)4.(k+4)] … +/- … 2.z(q).uq / [(2p)q.(k+q)]

Posons u/2p = x . L’expression devient :

z(k+1) = [(2p)k . xk / k!] . [(1/k) - p. x / (k+1) + 2.[z(2).x2 / (k+2) - z(4).x4 / (k+4) … +/- … z(q).xq / (k+q) …]                                                                               

Le problème consiste maintenant à calculer l’expression en z, soit S. On peut la présenter comme suit, sous forme de tableau :

 

   x2 / (k+2) - x4 / (k+4) … +/- xq / (k+q)

 

+ x2 / 22.(k+2) - x4 / 24.(k+4) … +/- … xq / 2q.(k+q)

      …………………………………………

+ x2 / p2.(k+2) - x4 / p4.(k+4) … +/- … xq / pq.(k+q)

 

avec p → ∞

 

La ligne courante, soit Sp, peut s’écrire :

 

(pk / 2.xk) . [(x2/p2)(k/2 + 1) / (k/2 + 1) - (x2/p2)(k/2 + 2) / (k/2 + 2) ... +/- ...

 

(x2/p2)(k/2 + q/2) / (k/2 + q/2) ...]

 

Expression qu’il est intéressant de rapprocher  de celle de Ln [1+x2/p2], soit:

 

x2/p2 - (x2/p2)2/ 2 + (x2/p2)3 / 3 … -/+ (x2/p2)k/2/ (k/2) +/-

 

(x2/p2)(k/2 + 1)/ (k/2 + 1) -/+ (x2/p2)(k/2 + 2)/ (k/2 + 2)... +/- (x2/p2)(k/2 + q/2)/ (k/2 + q/2)

 

On peut noter que la seconde ligne correspond à l’expression entre [ ] de Sp. On peut donc écrire :

 

Sp = (pk / 2.xk).[ Ln [1+x2/p2] - x2/p2 + (x2/p2)2/ 2 - (x2/p2)3/ 3 ... +/- (x2/p2)k/2 / k/2]

                               

Soit: 2.S =  (1/xk) .[ pk.Ln[1+x2/p2] - pk-2.x2 + pk-4.x4/ 2 - pk-6.x6/ 3… +/- 2xk/ k]

                                         p = 1

Reportons dans l’expression (45). On obtient, après simplification par xk :

 

                                                                                                                                             

z(k+1) = [(2p)k / k!] . [ xk/ k - p.xk+1 / (k+1) + ∑ pk.Ln (1+x2/p2)

                                                                                     p = 1

- pk-2.x2 + pk-4.x4/2 - pk-6.x6/3 …+/- 2xk/ k]

 

A ce stade, on peut faire une importante remarque : l’expression ci-dessus devant obligatoirement conduire à un résultat numérique fini, tous les termes manifestement infinis doivent nécessairement disparaître par annulation avec des termes identiques de signe opposé (le calcul détaillé complet pour les premières valeurs k = 2 et k = 4 montre qu’il en est bien ainsi). Se trouvent dans ce cas :

- Les deux termes en xk et xk+1

- L’ensemble de la deuxième ligne de l’expression qui, après sommation, se présente comme un ensemble de polynômes tous composés de puissances non nulles de la valeur maximum de p, à savoir l’infini.

On peut donc se ramener à l’expression simplifiée :

                                              

            z(k+1) = [(2p)k/ k!] . ∑ [ pk.Ln [1+x2/p2] ]                                         (48)

                                             p = 1

Il reste à calculer l’expression en ∑ [f(p)], ce que nous ferons en utilisant la formule de sommation d’Euler-Mac-Laurin. Rappelons que celle-ci nécessite le calcul de trois éléments :

                                      

            1) - Intégrale I = ∫ (pk.Ln [1+x2/p2] ).∂p                                              

                                       1

On peut la calculer au moyen de la méthode « par parties », en faisant :

 

 U = pk+1/(k+1)        et V = Ln [1+x2/p2],          ce qui donne, tous calculs faits :

 

[1/(k+1)].[pk+1.Ln [1+x2/p2] + 2.[ x2.pk-1/(k-1) - x4.pk-3/(k-3) + x6.pk-5/(k-5) ...

 

- xk+2.p + xk+1.Atg(p/x)]

 

Pour p = ∞ , tous les termes sont infinis, donc à ne pas considérer.

Pour p = 1 , on peut montrer que le dernier terme constitue un cas particulier. Il vaut alors :

 

[2/(k+1)] . [xk+1.Atg(1/x)]  soit, en remplaçant Atg(1/x) par son développement :

 

[2/(k+1)] . [xk+1.(1/x - 1/3x3 + 1/5x5 …. + 1/ (k+1).xk+1 - ….)]

 

Le seul terme à retenir dans le développement est 1/ (k+1).xk+1. (Après la multiplication par xk+1, les précédents sont infinis, les suivants sont nuls.). Il reste donc :

            I = - 2/(k+1)2 

                                                                                                                     

2) - Moyenne des valeurs extrêmes : ici elles ne comportent que des termes infinis, donc à ne pas considérer.

                                                   

3) - Terme complémentaire B = ∑ [b2q/(2q)!] . [f(2q-1)(∞) - f(2q-1)(0)]

                                                    1

Le calcul passe par la détermination des dérivées impaires de la fonction f, pour laquelle on a intérêt à présenter cette fonction sous la forme d’une différence :

f(p) = f1p - f2(p) = pk.Ln (p2+x2) - 2.pk.Ln(p)

 

La fonction f1 n’est pas à considérer, car toutes ses dérivées impaires font apparaître p et x pour p = ∞ , et x pour p = 1.

La fonction f2 n’est pas à considérer pour p = ∞. Par contre, toutes ses dérivées impaires sont numériques pour p = 1. Une partie importante du calcul va donc résider dans le calcul de ces dérivées. Sans entrer dans le détail des calculs, les valeurs successives de ces dérivées sont :

 

            f’ = 2

            f(3) = 2.k (k-1) (k-2).[1/k + 1/(k-1) + 1/(k-2)]

            f(5) = 2.k (k-1) (k-3) (k-4).[1/k + 1/(k-1) + 1/(k-2) + 1/(k-3) + 1/(k-4)]

                        ........................................................

            f(2q-1) = 2.k (k-1) (k-2)....(k-2q+2).[1/k + 1/(k-1) + 1/(k-2)...+ 1/(k-2q+2)]

                        ........................................................

            f(k-1) = 2.k! [1/k + 1/(k-1) + 1/(k-2) ......... + 1/2]

 

            f(k+1) = 2.k!

            f(k+3) = 2.k! 2!

            ...........................

            f(2q-1) = 2.k! (2q-k-2)!

 

            On voit apparaître deux familles de dérivées f(2q-1) :

 

- Une première famille comportant k/2 lignes, chaque ligne s’exprimant par le polynôme :

 

            2.P(2q-1) = 2.k (k-1) (k-2)…(k-2q+2).[1/k + 1/(k-1) + 1/(k-2)…1/(k-2q+2)]

 

- Une deuxième famille allant de f(k+1) à f(∞), chaque ligne s’exprimant par l’expression :

                    2.k! (2q-k-2)!

 

Chaque ligne devant être multipliée par b2q /(2q)! , l’ensemble du terme B s’établit à :

    k/2                                                            

2.∑ [b2q /(2q)!].P(2q-1) +2.k!    [b2q /(2q)!].(2q-k-2)!]                            (49)

                1                                                    (k/2 +1)

En reportant dans la formule (48), qui peut s’écrire :  z(k+1) = [(2p)k/ k!].(I+B) ,

en factorisant 2, et en désignant par lk la deuxième expression en ∑ de la formule (49), on aboutit bien à la formule (47) qui était à démontrer, avec la considération suivante sur les signes :

 

            Si on remonte à l’expression de Sp calculée plus haut, soit :

 

Sp = (pk / 2.xk).[ Ln [1+x2/p2] - x2/p2 + (x2/p2)2/ 2 - (x2/p2)3/ 3 ... +/- (x2/p2)k/2 / k/2]

 

            On peut noter que, suivant le positionnement de Sp dans le développement de Ln [1+x2/p2], l’expression entre [ ] de Sp se présente :

            Comme ci-dessus pour k = 4 , 8 , 12 … etc

            Avec inversion des signes pour k = 2 , 6 , 10 … etc

            On peut mettre plus facilement cette propriété en évidence en faisant le calcul pour k = 2 et pour k = 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TROISIEME  PARTIE :

 

 

         APPROCHE  « TAYLOR »

 

            CALCUL DE z (n) D’APRES L’ANNEXE 4

 

 

 

 

CHAPITRE 12 : Calcul à partir du niveau 2

 

On peut voir à l’annexe 4 que les identifications des coefficients tayloriens des développements des hyperfactorielles issus des approches TA et TS permettent de faire apparaître des formules générales des expressions des valeurs de z (n).

On trouve notamment au niveau 2 :

                                                                                                    n-1                               n-1

            z (n) = [1/(n-1)]. [(n/2).z (n+1) + C b2.z (n+2) + C b4.z (n+4) …..]   

                                                                  n+1                               n+3

                Qu’on peut présenter sous la forme :

 

z (n) = [n/(n-1)]. [z (n+1)/2 + (n+1). z (n+2).b2 /2!

                                               + (n+1).(n+2).(n+3). z (n+4).b4 /4! +….]          (50)                      

 

            On peut faire une première utilisation directe de cette formule, qui conduit notamment à :

 

z (3) = (1/2). [(3/2).z (4)   + 6.b2.z (5)  + 15.b4.z (7)  + 28.b6.z (9) + …. ]  (50.3)

 

z (5) = (1/4). [(5/2).z (6) + 15.b2.z (7) + 70b4.z (9) + 210.b6.z (11) + ....] (50.5)

………….etc……………………..

 

            On peut également, comme on l’a fait avec les approches précédentes, procéder par dérivations successives de la formule (50), comme on l’a fait pour les formules (2) et (36), en remplaçant à chaque pas n par n+e, ce qui nous donne :

z (e) = - e.(1+e). [z (1+e)/2 + (1+e).z (2+e).b2 /2!

          + (1+e).(2+e).(3+e).z (4+e).b4 /4! + ...]

En se souvenant que z (1+e) = (1/e) + g, on arrive à :

 

            z (e) = - 1/2 - e. [1/2 + g /2 + b2.z (2) /2 + b4.z (4) /4 + …..]                 (51)

 

A rapprocher de la formule (37) : z (e) = - 1/2 - e. [Ln (2p) /2] . On obtient :

             

bq.z (q) /q = Ln (2p) /2 - 1/2 - g /2                                                     (52)

             2

z (-1+e) = [(-1+e) /(-2+e)]. [z (e) /2 + e.z (1+e).b2 + e.(1+e).(2+e).z (3+e).b4 /4! + ….]

 

            En reprenant les expressions de z (e) et z (1+e) vues plus haut, et en effectuant la première expression entre [ ], on arrive, tous calculs faits, à :

                                                                                         

z (-1+e) = - 1/12 - e. [- 1/24 + Ln (2p) /8 - g /24 - (1/2). ∑ bq.z (q-1) / q.(q-1)]           

                                                                                          4                                

            Soit, en remarquant que l’expression en ∑ …. n’est autre que la constante r1 rencontrée en première partie :  

 

              z (-1+e) = - 1/12 - e. [- 1/24 + Ln (2p) /8 - g /24 - r1 /2 ]                            (53)

 

A rapprocher de la formule (38) :

z (-1+e) = -1/12 + e. [11/24 + g /2 - Ln (2p) /2 - K2 /2]    

On obtient l’identité :               

r1 = 5/6 + 11.g /12 - 3.Ln (2p) /4 - K2                                     (54)    

 

z (-2+e) = [(-2+e) /(-3+e)]. [z (-1+e) /2 + (-1+e).z (e).b2 /2!

                                                                       + (-1+e).(e).(1+e).z (2+e).b4 /4! + …]

 

En reprenant les expressions de z (-1+e) et z (e) respectivement données par les formules (53) et (37), et en effectuant, on arrive à :

 

z (-2+e) = - e. [- 1/8 + (5/36).Ln (2p) - g /6 + K2/6]

                                                                 

                                                    + (2/3). ∑ bq.z (q-2) / q.(q-1).(q-2)]               (55)

                                                                  4

A rapprocher de la formule (40) :

                                                   z (-2+e) = e.[1/2 + 2.g /3 - Ln (2p) /2 - K2 + K3 /3]

 

            On peut en tirer l’expression en ∑ , à savoir :

 

bq.z (q-2) /q.(q-1).(q-2) = - 9/16 - 3.g /4 + 13.Ln (2p) /24 + 5.K2 /4 - K3/2  (56)

 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CHAPITRE 13 : Calcul à partir du niveau 3

 

On trouve la formule :

                               n                                     n                                    n

z (n) = [(2/(n-1)]. [C  b2.z (n+2) + C  b4.z (n+4) + C  b6.z (n+6) ….]

                              n+2                                n+4                                 n+6

Qu’on peut présenter sous la forme :

 

z (n) = [2/(n-1)]. [(n+1).(n+2).z (n+2).b2 /2! + (n+1)…..(n+4).z (n+4).b4 /4!…]

                                                                                                                             (57)

L’utilisation directe donne notamment :

 

                     z (3) =  10.b2.z (5) + 35.b4.z (7) +   84.b6.z (9) + ….            (57.3)

 

            z (5) = (1/2).[15.b2.z (6) + 70.b4.z (8) + 210.b6.z (10) + ….]         (57.5)

 

            Formes très fortement divergentes.

 

            On peut également, là encore, procéder par dérivations successives de la formule (57), ce qui donne :

 

z (e) = [- 2.(1+e)]. [(1+e).(2+e).z (2+e).b2 /2! + (1+e)….(4+e).z (4+e).b4 /4! + …]

 

Si on ne s’occupe pas de la dérivée, calculée par ailleurs : (z’ (0) = - Ln (2p) /2), il reste :

            z (0) = - 2 . [b2.z(2) + b4.z (4) … + bq.z(q)…]

 

            La valeur de  z(0) étant connue, soit - 1/2, on en déduit la formule :

           

            bq . z(q) = 1/4  (déjà établi à l’annexe 4, approche TS, niveau 3)

         2

On trouve ensuite :

 

z (-1+e) = - 1/12 - e. [1/8 + g /12 + b4.z(3) /4 + b6.z(5) /6 ….]

 

            Le rapprochement avec la formule (38) donne la série :

 

            b4.z (3) /4 + b6.z (5) /6 …. = Ln (2p) /2 - 7/12 - 7.g /12 + K2 /2       (58)

 

z (-2+e) = - (2/3).e. [1/24 - (b4.z (2) /12 + b6.z (4)/30 …)]

 

La série en bq.z (q-2) n’étant autre que la constante r2, cette formule correspond exactement à celle de z (3) établie au chapitre 8 (formule 26) et ne fait donc que la confirmer, soit, avec une présentation un peu différente :

 

z’ (-2)= - (2/3). [1/24 - r2] ≈ - 0,0304491                                           (59)

 

Il serait intéressant de voir si le même phénomène se reproduit avec z (5). Le calcul correspondant donne :

 

z (-4+e) = (2/5).e. [13/720 - r2 /3 + 6. (b6.z (2).2!/6! + b8.z (4).4!/8! ….)]  

 

            Cette fois, la série en bq.z (q-4) ne correspond pas à r4, mais à une autre constante que nous nommerons m4. On ne retombe donc pas sur une formule déjà connue pour z (5), mais sur la formule :

 

            z (5) = (2p)4. [(13 / 21600) - r2 / 90 + m4 / 5]                                       (60)

 

L’identification avec la formule (29) donne :   m4 = (r4 /3) - 1/ 4320 ≈ 0,00009485

(le terme en r2 s’éliminant)

            Il est intéressant de trouver une relation très simple entre m4 et r4, mais il n’en résulte pas d’expression de z (5), ni de relation simple entre z (5) et z (3).

            En reprenant la formule précédente, on arrive à :

 

            z’ (-4) = (2/5). [13/720 - r2 /3 + 6.m4] ≈ 0,007984                                 (61)

 

            Sachant que la formule (59) permet d’exprimer r2 en fonction de z’ (-2), on peut présenter cette formule sous une deuxième forme :

 

            z’ (-4) = (2/5). [1/240 - (1/2). z’ (-2) + 6.m4]                                        (61’)

 

            Le même type de calcul se reproduit assez facilement avec les valeurs suivantes de z’ . On trouve :

 

z' (-6) = - (2/7). [47/2520 - r2 /3 + 4.m4 - 120.m6] =  0,0059                 (62)

 

avec m6 = b8.z (2).2!/8! + b10.z (4).4!/10! + b12.z (6).6!/12! …. ≈  0,00000237

 

            Comme on a pu exprimer r2 en fonction de z’ (-2), la formule (61’) permet d’exprimer m4 en fonction de z’ (-2) et z’ (-4), ce qui donne :

 

            z’ (-6) = - (2/7). [(1/504) - (1/6).z’ (-2) + (5/3).z’ (-4) - 120.m6]      (62’)

 

            Bien qu’il paraisse compliqué de faire apparaître une formule générique des z’ (-k), et donc des z (k+1), on voit clairement que le processus décrit ici permet de donner, de proche en proche, les expressions de tous les z impairs successifs, chaque valeur découlant des valeurs précédentes, avec adjonction d’une nouvelle constante mk.

 Une telle démarche est théoriquement possible avec les constantes r, mais comme on a pu le voir plus haut dans l’approche « hyperfactorielles », la formule de z’ (-4) est déjà très compliquée à établir, et on peut craindre le pire pour les valeurs suivantes.

            Remarque : La logique de formation des mk est différente de celle des rk, à l’exception de k=2  qui donne r2 = m2.

            Rappelons enfin que les constantes r peuvent se calculer numériquement avec toute la précision souhaitée (parenté avec la formule de Stirling), ce qui n’est pas le cas des constantes m.

 

 

 

 

 

            CHAPITRE  14 : Récapitulation :

 

            Le présent document a permis de mettre en évidence un certain nombre de procédures permettant d’exprimer les valeurs impaires de la fonction Zêta. Ces procédures ont en commun d’utiliser des séries alternées, généralement divergentes. On rencontre dans ces séries :

            Les valeurs successives de z (p).

            Les nombres de Bernoulli bq.

            Des produits de la forme z (p).bq.

 

            Ces nombres apparaissent à travers des constantes exprimées par des séries alternées qu’on peut classer en plusieurs catégories :

 

            - Constantes C (séries en z ) :

 

C2 = z (2) /2 - z (3) /3 + z (4) /4 ….. +/- z (p) /p         = g

C3 = z (2) /3 - z (3) /4 + z (4) /5 ….. +/- z (p) /(p+1)  = 1 + g /2 - Ln (2p)/2

            …………………………………….

Cn = z (2) /n - z (3) /(n+1) + z (4) /(n+2) …… +/- z (p) /(n+p-2)

 

            De toutes les séries alternées rencontrées dans cette étude, celles qui définissent les constantes C sont les seules qui soient convergentes. Celles qui suivent sont de type pseudo convergent commençant par converger pour diverger ensuite (séries « en tuyères » présentant un « col » plus ou moins étroit au voisinage duquel peut se faire la meilleure estimation des séries).

            Les constantes C2 et C3 sont les seules auxquelles on peut, jusqu’ici, attribuer des valeurs analytiques. Les autres doivent être calculées numériquement, la précision pouvant être très bonne du fait de la convergence.

 

            - Constantes K (séries en b) :

 

K0 = b4 /4 + b6 /6 + b8 /8 …… + bq /q          g - 7/12 

K1 = b4 /3 + b6 /5 + b8 /7 …… + bq /(q-1)    g + 1/3 - Ln (2p) /2

K2 = b4 /2 + b6 /4 + b8 /6 …….+ bq /(q-2)

K3 = b4 /1 + b6 /3 + b8 /5 …… + bq /(q-3)

K4 = b6 /2 + b8 /4 + b10 /6 ….. + bq /(q-4)

K5 = b6 /1 + b8 /3 + b10 /5 ….  + bq /(q-5)

      …………………………………

            Comme pour les constantes C, on ne connaît des valeurs analytiques que pour les deux premières. Le calcul des suivante à partir des b est assez peu précis. On peut faire mieux en exploitant certaines correspondances avec les C, soit notamment :

            K2 = C4 + 1/4 + 2.g /3 - Ln (2p) /2                  ≈ - 0,013151

            K3 = (3/2).C4 + C5 - 1/3 + g /4 - Ln (2p) /4     ≈ - 0,028416

                        ………………………………..

            On bénéficie ainsi de la précision des C. Le processus peut être poursuivi avec les K suivants, mais avec une certaine complexité.

 

            - Constantes l (séries en b) :

 

l2 = b4 /4! + b6.2!/6! ……..+ bq.(q-4)!/q!                = - 0,001335

l4 = b6 /6! + b8.2!/8! ……..+ bq.(q-6)!/q!                = 0,3172 10-4

l6 = b8 /8! + b10.2!/10! …...+ bq.(q-8)!/q!                = - 0,794   10-6

            ……………………………………………

            On peut montrer que ces séries peuvent se ramener à des combinaisons de séries K, d’où un processus de calcul numérique possible, au moins pour les premières valeurs.

 

            - Constantes r (séries en bq.z (q-p) ) :

 

r2 = b4.z (2) /12 + b6.z (4) /30 …. + bq.z (q-2) / [q.(q-2)]    ≈ - 0,004007

r4 = b6.z (2) /30 + b8.z (4) /56 …. + bq.z (q-4) / [q.(q-2)]    ≈ - 0,000979

            …………………………………………..             

            Ces séries sont apparentées à la série de Stirling : bq /[q.(q-2)] ,

                                                                                                                                           2

ce qui facilite nettement leur calcul numérique. On pourrait sans difficulté aller vers les r supérieurs.

            Elles sont également liées aux séries C, comme le montre l’approche « hyperfactorielles »

 

            - Constantes m ( autre famille de séries en bq.z (q-p) ) :

 

m2 = b4.z (2).2!/4! + b6.z (4).4!/6! …… + bq.z (q-2).(q-2)!/q!                   = r2

m4 = b6.z (2).2!/6! + b8.z (4).4!/8! …… + bq.z (q-4).(q-4)!/q!  ≈ 0,00009485

m6 = b8.z (2).2!/8! + b10.z (4).4!/10! .... + bq.z (q-6).(q-6) /q!   ≈ 0,00000237

 

 

                        Formules obtenues :

 

            Les formules seront données sous la forme des dérivées des z  négatifs pairs z’ (-k) d’où découlent les z positifs impairs z (k+1).

 

            - A partir des constantes C :

 

z’ (-2) = - 1/36 + C3 /6 - C4 /2 + C5 /3                        ≈ 0,030449

z’ (-4) = 13/1800 - C3 /30 + C5 /3 - C6 /2 + C7 /5       ≈ 0,007984

            ……………………………………….

            L’établissement des formules suivantes est possible, mais complexe. Il est par ailleurs paradoxal de calculer les z impairs à partir de constantes dans lesquelles figurent ces mêmes z. La logique serait rétablie si on trouvait des expressions analytiques pour les C d’indices supérieurs à 3, ce qui n’est jusqu’ici pas le cas.

 

            - A partir des constantes K :

 

z’ (-2) = - 1/36 + K0 /3 - K1 +K2 - K3 /3

            ………………………….

 

            Comme pour le cas précédent, on ne voit pas apparaître de formule générique  évidente pour calculer la suite.

 

            - A partir des constantes l :

 

            On arrive cette fois à la formule générique :

                                          k/2

z’ (-k) = +/- 1/(k+1)2  -/+  S  b2q . P2q-1 / (2q)!  -/+  k! l(k)

                                         q = 1

Les signes de l’expression sont : +, -, -  pour k = 2, 6, 10 ….

                                                                et : -, +, +  pour k = 4, 8 ….

Les polynômes P sont les premières dérivées impaires de la fonction pk.Ln(p) pour p = 1.

Les premières expressions sont :

 

z' (-2) = - 1/36 + 2.(b4 /24 + b6 /360 + b8 /1680 +….)

 

z’ (-4) = 13/1800 + 24.(b6 /720 + b8 /20160 + b10 /151200 +…)

 

z’ (-6) = - 47/8820 + 720.(b8 /40320 + b10 /1814400 + b12 /19958400 + ….)

 0,0059

            ………………………………………………………..

            Contrairement aux précédentes, cette procédure permet assez facilement  le calcul des valeurs suivantes. On peut s’attendre à rencontrer une limite pour le calcul des l élevés, du fait de la forte divergence des grands b, mais cette limite est assez éloignée.

 

            A partir des constantes r

 

 

 

 

 

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