THEOREME  DES  NOMBRES  PREMIERS

 

            Approche heuristique

 

Première question :

Comment faire apparaître, parmi une tranche d’entiers donnée, ceux qui sont premiers ?

La réponse a été apportée dès le troisième siècle avant J C, par le savant grec Eratosthène, par son approche dite « du crible », rappelée ci-après.

Considérons une tranche d’entiers quelconque, par exemple celle qui va de 1 à 15

Considérons une première fonction booléenne b2 qui vaut 1 pour les pairs.

Considérons une seconde fonction booléenne b3 qui vaut 1 pour les multiples de 3.

Présentons la liste d’entiers étudiée et les deux fonctions booléennes associées sous la forme d’un tableau :

 

1      2      3      4      5      6      7      8      9     10     11     12     13     14     15

 

0      1      0      1      0      1      0      1      0      1       0       1       0       1       0  

 

0      0      1      0      0      1      0      0      1      0       0       1       0       0       1  

 

Considérons la fonction booléenne b23 résultant de la composition des deux précédentes par l’opérateur « ou » :

 

0      1      1      1      0      1      0      1      1      1       0       1       0       1       1  

 

Cette troisième fonction met en évidence les nombres divisibles par 2 ou par 3. Il reste en face des zéros les nombres qui sont premiers par rapport à ces deux nombres, soit :  1 , 5 , 11 , 13 …etc

La fonction b23 présente une périodicité de 6, qui correspond au produit : 2 x 3. Elle fait apparaître l’ensemble des nombres premiers jusqu’à 23 inclus. Si on va au-delà, on tombe sur une rupture pour le nombre 25, qui serait considéré par b23 comme premier, alors qu’il ne l’est pas, étant le carré de 5.

Pour poursuivre la démarche, il faudrait introduire une troisième fonction booléenne b5 faisant apparaître les multiples de 5, ainsi que la fonction composée b235, dont les zéros correspondent aux nombres premiers par rapport à 2 , 3 , et 5.

Cette fonction composée présente une périodicité de 30 . (2 x 3 x 5).

Elle fournit l’ensemble des nombres premiers jusqu’à 47. Au-delà, elle bute sur 49, qui est multiple de 7.

En poursuivant, on voit qu’on procède par tranches d’entiers, dont les limites sont les carrés des nombres premiers successifs. Nommons chacune de ces tranches un palier.

Ainsi, la connaissance des premiers nombres premiers permet de déterminer ceux qui suivent avec un effet multiplicateur important.

 

Deuxième question :

La suite des nombres premiers est-elle infinie ?

La réponse affirmative est immédiate. Supposons qu’elle soit finie. On pourrait alors définir le produit P de tous les nombres premiers. Considérons maintenant le nombre (P + 1). Si on divise ce nombre par un des nombres premiers de la suite supposée finie, soit n. on obtient :

 

            (P + 1) / n = (P / n) + (1 / n)

 

Le premier terme de cette somme étant obligatoirement un entier, et 1 / n une fraction inférieure à 1 , la somme elle-même ne peut donc pas être un entier. Le nombre (P + 1) n’est donc pas divisible par un des nombres premiers connus. Il s’ensuit qu’il est lui-même premier, ce qui est contraire à l’hypothèse de départ.

Remarque : on pourrait faire le même raisonnement avec le nombre (P - 1). Nous aurions alors un exemple de « doublets » ou de « premiers jumeaux ». Toutefois, une rapide investigation montre :

Que ces doublets sont très nombreux, et que le nombre qu’ils encadrent n’est qu’exceptionnellement un produit de nombres premiers.

Que si P est un produit de nombres premiers, (P - 1) et (P + 1) ne sont pas forcément premiers. Le premier exemple apparaît très vite avec P = 2 . 3 . 5 . 7 = 210 .  On constate que 211 est premier, mais que 209 ne l’est pas (il équivaut à 11 . 19) .

On ne peut donc conclure qu’une chose de cette rapide analyse : la compétition qui s’est engagée pour faire apparaître un nombre premier plus grand que tous ceux précédemment connus n’aura jamais de fin. Le « plus grand des nombres premiers » n’existe pas.

Par contre, on peut concevoir l’existence d’un algorithme qui permettrait de mettre en évidence un nombre premier aussi grand qu’on le veut, mais il reste à trouver.

 

Troisième question :

Peut-on établir une loi donnant la fréquence des nombres premiers à l’intérieur d’un palier donné ?

Nommons fn la fréquence dans le palier de rang n, avec :

            Le palier 1 allant de 1 à 4            i1 = 1

            ………   2…………4 à 9            i2 = 2

            ………   3……… .. 9 à 25          i3 = 3

            ………   4………  25 à 49          i4 = 5   

            ………   5………  49 à 121        i5 = 7

            …………etc

 

Pour chaque palier, l’entier i est le nombre dont le carré constitue le début du palier correspondant. La colonne des i n’est autre que la suite des nombres premiers.

On peut faire apparaître une loi de récurrence permettant de déterminer la fréquence dans un palier à partir de celle du palier précédent, à savoir :

 

            fn  =  f(n - 1) . [1 - (1 / in)]   qu’on peut aussi écrire :  Df = - (f(n-1) / in     (1)

 

formule à interpréter comme suit : s’il n’y avait pas l’intervention du nouveau diviseur in, la fréquence du palier (n-1) se poursuivrait sur le palier n. Le second facteur permet de prendre en compte l’intervention de in.

 

Adoptons maintenant une échelle en x pour y situer les carrés des entiers successifs. Sur cette échelle, on peut mettre en évidence les carrés des nombres premiers, qui délimitent les paliers. Si on nomme Dx l’étendue du palier débutant en x, un examen numérique montre que  Dx / x est de plus en plus petit quand x augmente. A la limite, prenons comme hypothèse que ce rapport tend vers zéro, sous réserve de vérification ultérieure. Si on travaille dans les grandes valeurs de i, et donc de x, on peut considérer que fn et f(n - 1) sont très proches, et qu’on peut admettre l’approximation consistant à faire appel au calcul différentiel. Et de « lisser » l’évolution de Dx.

Si on reprend la formule (1), on peut donc admettre de remplacer f (n -1) par f(x) et in par x 0,5, ce qui conduit à :

                              D f(x) = - f(x) / x 0,5        (2)

 

Les limites d’un palier donné étant x et (x + Dx), les nombres premiers consécutifs qui conduisent à ces limites sont donc x 0,5 et (x+ Dx) 0,5 .

La différence de ces deux valeurs n’est autre que D(x 0,5), et se calcule comme suit : 

 

D(x 0,5) = (x + Dx) 0,5 - x 0,5 = x 0,5 . [(1 + Dx / x) 0,5 - 1]

 

La fraction Dx / x tendant vers zéro, l’expression (1 + Dx / x) 0,5 tend vers (1 + Dx / 2.x), ce qui conduit finalement à :

 

D(x 0,5) = x 0,5 . (Dx / 2.x) = Dx / (2 . x 0,5)  , qu’on peut écrire comme suit :

 

Dx = 2 . x 0,5 . D(x 0,5) ,  soit :  Dx = 2 . x 0,5 / f(x 0,5)       (3)

 

Si nous divisons membre à membre les formules (2) et (3), nous arrivons à :

 

D f(x) / Dx = [ (- f(x) / x 0,5)] . [f(x 0,5 / (2.x 0,5)]

 

Le premier membre tend vers la dérivée :   df / dx.

 Le second tend, après calcul, à :                              - f(x) . f(x 0,5) / 2.x

Ce qui conduit à :

                                df / dx = - f(x) . f(x 0,5) / 2.x      (4)

 

Cette équation différentielle n’est pas d’une forme classique, mais on peut vérifier facilement qu’elle conduit à :

                                f(x) = 1 / Ln (x)      (5)

 

Comme f(x) diminue indéfiniment, il n’y a pas de constante d’intégration.

On peut vérifier qu’en dérivant la formule (5), on retombe bien sur la formule (4).

 

Notons que, f(x) ne pouvant dépasser 1, x doit être supérieur à e. Pour ne pas sortir des entiers, on admettra de ne débuter aucun calcul avant x = 3.

 

Pour être tout à fait rigoureux, il convient de vérifier que la fraction Dx / x tend bien vers zéro. .Si on reprend la formule (3), on peut maintenant l’écrire :

 

Dx = 2 . x 0,5 / f(x 0,5)   = 2 . x 0,5 . Ln (x 0,5) = x 0,5 . Ln (x)   soit :  Dx / x = Ln (x) / x 0,5

 

Il est connu que cette forme tend vers zéro pour les grandes valeurs de x.

 

 Quatrième question : passage au dénombrement :

Comparons tout d’abord avec ce qu’on appelle couramment le théorème des nombres premiers, à savoir : la quantité de nombres premiers inférieurs à une limite x s’exprime par la fraction suivante :

                         N =  x / Ln (x).            (6)

 

Avec cette expression, tout se passe comme si la fréquence des nombres premiers était constante et égale à  1 / Ln (x) sur toute l’étendue du domaine de 0 à x, x étant cette fois le x final et non le x courant. Or, on sait que la fréquence des nombres premiers va en diminuant quand x augmente. Il y a donc contradiction.

 

 Si on dérive cette l’expression (6), on obtiendra la fréquence des nombres premiers au voisinage de x. On trouve :

 

f(x) = [(Ln (x) - 1] / [Ln (x)] 2 =  [1 / Ln (x)] . [1 - (1 / Ln (x)]

 

On constate que, par rapport à la formule (5), on est systématiquement plus faible, les deux fonctions se rejoignant asymptotiquement. On doit donc s’attendre à ce que, pour les valeurs finies de x, la formule traditionnelle (6) donne un résultat trop faible.

Pour trancher, il faut passer par le verdict du comptage.

 

Pour continuer le chapitre précédent, intégrons maintenant l’expression (5). On obtient  :

 

N = C + Ln [Ln (x)] + Ln (x) + [Ln (x)] 2 / (2 . 2!) + [Ln (x)] 3 / (3 . 3!) …  + …      (7)

 

Comme on l’a vu plus haut, le calcul est à faire entre N = 3 et N = x , ce qui revient à ajouter la constante C correspondant à la quantité de nombres premiers compris entre 0 et 3. Prenons par convention C = 2, précision très suffisante.

 

Pour avoir une opinion précise, il suffira de comparer les résultats des formules (6) et (7) avec ceux du comptage, par exemple pour les valeurs  5000 et 10000 de x. On obtient :

 

x = 5000            N (6) =  587         N(7) = 686        comptage : N = 670

x = 10000                       1086                  1247                                 1230

 

Si on exprime les valeurs de N (6) et N (7) en pourcentages du comptage, on obtient :

 

x = 5000           N (6) = 0,88          N (7) = 1,024

x = 10000         N (6) = 0,88          N (7) = 1,014

 

Un test plus significatif consiste à travailler sur l’intervalle de 5000 à 10000. On trouve alors :

 

DN (6) = 499     DN (7) = 561       DN (comptage) = 560

 

Le résultat est très nettement en faveur de la formule (7)

Cette formule présente cependant un inconvénient pratique : pour les grandes valeurs de x, le calcul de N est très long, et nécessite le recours à des moyens puissants.

 

 

 

 

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